4.3. Принцип необхідної різноманітності Ешбі

4.3. Принцип необхідної різноманітності Ешбі

Розглянемо три системи X, R, Y. Вони деяким способом по­в’язані між собою (рис. 4.2). Нехай різноманітність цих систем буде відповідно

Х = {x1, x2, …, xn}, Y = {y1, y2, …, yn}, R = {r1, r2, …, rn}.

Рис. 4.2. Унаочнення принципу Ешбі

Ця різноманітність є невизначеністю щодо стану, в якому перебуває система. Таку невизначеність можна схарактеризувати ентропією: H(X), H(R), H(Y). Введемо також умовні ентропії H(X / R), H(Y / R).

Розглянемо тепер дві системи Х і Y. Припустимо, що різноманітність системи Y менша за різноманітність Х, тобто система Y є гомоморфним образом Х. Постає запитання: як можна зменшити різноманітність системи Х, або як можна зменшити її невизначеність, тобто ентропію Н(Х)?

Нехай система R цілком визначена. Тоді, оскільки невизначеність системи Х більша, ніж системи Y, маємо нерівність

        Н(X / R) ³ H(Y / R).       (4.13)

За будь-яких причинних чи інших взаємозв’язків між R і Y дістаємо:

        .         (4.14)

Згідно з (3.13), можемо записати

        .        (4.15)

Але для будь-яких систем

        .   (4.16)

Тому, підставляючи (3.16) у (3.15), дістаємо:

                  (4.17)

Зі співвідношення (4.17) випливає, що ентропія системи Х має мінімум, і цей мінімум досягається при H(R / Y) = 0, тобто в разі, коли стан системи R цілком визначений і відомий стан системи Y. А це буде тоді, коли R є однозначною функцією від Y (її гомоморфний образ).

Отже, якщо H(R / Y) = 0, то

        min H(X) = H(Y) – H(R).            (4.18)

Це і є відомий «принцип необхідної різноманітності» Р. Ешбі, який постулює таке:

Мінімальне значення різноманітності системи Х можна змен­шити тільки за рахунок збільшення різноманітності системи R.

Інакше його можна сформулювати так: тільки різноманітність у системі R може зменшити різноманітність, яка існує в Х, тільки різноманітність може знищити різноманітність.