6.4. Економіко-математичне моделювання
6.4. Економіко-математичне моделювання
Дослідження математичної моделі дає змогу діставати характеристики реального економічного об’єкта чи системи. Тип математичної моделі залежить як від природи системи, так і від задач дослідження. У загальному випадку математична модель системи містить опис множини можливих станів останньої та закон переходу з одного стану до іншого (закон функціонування).
Розглянемо основні типи економіко-математичних моделей (ЕММ), які класифікують за різними критеріями.
За цільовим призначенням ЕММ поділяються на теоретико-аналітичні, застосовувані для дослідження загальних властивостей і закономірностей економічних процесів (наприклад, модель Кейнса), та прикладні, призначені для розв’язування конкретних економічних задач (моделі економічного аналізу, прогнозування, управління тощо).
ЕММ можуть бути призначені для дослідження як різних функціональних складових економіки (виробничо-технологічної, соціальної, територіальної структури), так і його окремих частин. Розглядають моделі всієї економіки в цілому та її підсистем — секторів, галузей, регіонів, комплексів моделей виробництва, споживання, формування та розподілу прибутків, трудових ресурсів, ціноутворення, фінансових зв’язків тощо.
Згідно із загальною класифікацією математичних моделей вони поділяються на функціональні та структурні, охоплюючи проміжні форми (структурно-функціональні). У дослідженнях на макрорівні найчастіше використовуються структурні моделі, оскільки для планування та управління велике значення мають взаємозв’язки підсистем. Типовими структурними моделями є моделі міжгалузевих зв’язків. Функціональні моделі широко застосовуються в економічному регулюванні, коли на поводження об’єкта («вихід») впливають, змінюючи «вхід». Прикладом може бути модель поведінки споживачів за умов товарно-грошових відносин. Один і той самий об’єкт може описуватися водночас як структурною, так і функціональною моделлю.
За характером відображення причинно-наслідкових зв’язків розрізняють детерміновані моделі та моделі, що враховують випадковість і невизначеність — стохастичні.
Залежно від урахування часового чинника економіко-математичні моделі поділяються на статичні та динамічні. У статичних моделях усі залежності стосуються одного моменту або періоду часу. Динамічні моделі характеризують зміни економічних процесів у часі.
За тривалістю періоду часу, що розглядається, розрізняють моделі короткострокового (до року), середньострокового (до 5 років), довгострокового (10—15 і більше років) прогнозування та планування. Час в економіко-математичних моделях може змінюватися неперервно або дискретно. Тому розрізняють неперервні та дискретні моделі
Моделі економічних процесів надзвичайно різноманітні за формою математичних залежностей. У загальному випадку виокремлюють лінійні та нелінійні моделі. Особливо важливим є клас лінійних моделей, найзручніших для аналізу й розрахунків, зав-дяки чому вони набули великого поширення.
Відмінності між лінійними та нелінійними моделями істотні не лише з математичного, а й з теоретико-економічного погляду. Адже численні залежності в економіці як на макро-, так і на мікрорівні мають принципово нелінійний характер: вплив податкової та грошово-кредитної політики на економічних суб’єктів, ефективність використання ресурсів з розширенням виробництва, зміна обладнання, моделі управління запасами тощо. Теорія «лінійної економіки» істотно відрізняється від теорії «нелінійної економіки». Від того, якими — опуклими чи неопуклими — вважаються множини виробничих можливостей підсистем (галузей, підприємств), істотно залежать висновки про можливості поєднання централізованого планування та господарської самостійності економічних підсистем.
За співвідношенням екзогенних і ендогенних змінних, які включаються до моделей, останні поділяють на відкриті і замкнені. Повністю відкритих моделей не існує; модель повинна мати хоча б одну ендогенну змінну. Повністю замкненими (такими, що не містять жодної екзогенної змінної) економіко-математичні моделі бувають надзвичайно рідко. Загалом економіко-математичні моделі різняться за ступенем відкритості.
Макроекономічні моделі поділяють на агреговані та деталізовані. Залежно від того, чи містять ці моделі просторові чинники та умови, чи ні, розрізняють моделі просторові та точкові.
Отже, загальна класифікація ЕММ охоплює понад десять основних ознак. З розвитком економіко-математичних досліджень проблема класифікації застосовуваних моделей дедалі ускладнюється. Поряд з появою нових типів моделей (особливо мішаних типів) і нових ознак їх класифікації відбувається інтеграція моделей різних типів у складніші модельні конструкції.
Розглянемо основні етапи економіко-математичного моделювання. Процес моделювання передбачає наявність трьох структурних елементів:
об’єкта дослідження;
суб’єкта (дослідник);
моделі, яка опосередковує відносини між суб’єктом і об’єктом.
Побудова ЕММ у загальному випадку складається з розглянутих далі етапів.
1. Постановка економічної проблеми та її якісний аналіз. На цьому етапі потрібно сформулювати сутність проблеми, визначити передумови й висловити припущення. Необхідно виокремити найважливіші властивості об’єкта моделювання, вивчити його структуру, дослідити взаємозв’язки між його елементами,
а також хоча б попередньо сформулювати гіпотези, що пояснюють поводження й розвиток об’єкта (динаміку руху), дослідити його зв’язки із зовнішнім середовищем тощо.
При цьому складні об’єкти розбиваються на частини (елементи) окремого дослідження: визначаються зв’язки та логічні спів-
відношення між ними, їхні кількісні та якісні властивості. Зазначені дії становлять етап системного аналізу задачі, у результаті якого об’єкт подається у вигляді системи.
2. Побудова математичної моделі. Цей етап полягає у формалізації економічної моделі, тобто вираженні її у вигляді кон-кретних математичних залежностей (функцій, рівнянь, нерівностей тощо). Процес побудови моделі складається з кількох стадій. Спочатку визначають тип економіко-математичної моделі, вивчають можливості її застосування в розглядуваному конкретному випадку, уточнюють перелік змінних та параметрів, форми зв’язку між ними. Для складних об’єктів доцільно будувати кілька різноаспектних моделей.
3. Математичний аналіз моделі. На цьому етапі суто математичними прийомами досліджують загальні властивості моделей та розв’язків. Може статися, що раніше виконаний системний аналіз привів до такого набору елементів, властивостей і співвідношень, для якого немає прийнятного методу розв’язання задачі. Тоді доводиться повертатися до етапу системного аналізу. Важливим моментом є доведення існування розв’язків сформульованої задачі. У процесі аналітичного аналізу з’ясовують кількість розв’язків (єдиний чи неєдиний), визначають змінні та параметри, які можуть входити до розв’язку, а також межі та тенденції їх зміни.
Проте моделі складних економічних об’єктів дуже погано піддаються аналітичному дослідженню. У таких випадках переходять до чисельних методів дослідження. Як правило, задачі, що виникають в економічній практиці, намагаються звести до відомих моделей, для яких розроблено методи й алгоритми розв’язання.
4. Підготовка вихідної інформації. В економічних задачах це, як правило, найбільш трудомісткий етап моделювання, оскільки тут замало самого лише пасивного збору даних. Математич-
не моделювання висуває жорсткі вимоги до якості інформації. У процесі підготовки інформації використовуються методи теорії ймовірностей, математичної статистики, а також економічної статистики для агрегування, групування даних, оцінювання вірогідності даних тощо.
У процесі системного економіко-математичного моделювання результати функціонування одних моделей виступають вихідною інформацією для інших.
5. Чисельне моделювання. Цей етап передбачає розробку алгоритмів чисельного розв’язання задачі, підготовку комп’ютерних програм та безпосереднє виконання розрахунків. При цьому постають значні труднощі, зумовлені великою розмірністю економічних задач. Для великих складних об’єктів може знадобитися складання бази даних та відшукання засобів роботи з нею, а також методів добування даних, потрібних для розрахунків. У разі стандартних задач здійснюється вибір придатного пакета програм та системи управління базами даних (СУБД). Чисельне моделювання істотно доповнює результати аналітичного дослідження.
6. Аналіз чисельних результатів та їх застосування. На цьому етапі передусім з’ясовується найважливіше питання щодо правильності й повноти результатів моделювання та можливості їх практичного використання, а також досліджуються можливі напрямки подальшого вдосконалення моделі.
Тому спершу перевіряють адекватність моделі за тими властиво-тями, що було взято за найістотніші. Тобто потрібно виконати верифікацію і валідацію моделі, оскільки головна мета моделювання полягає в розв’язуванні практичних задач (аналіз економічних об’єктів, економічне прогнозування, вироблення управлінських рішень і т. ін.).
Верифікація моделі — перевірка правильності структури (логіки) моделі.
Валідація моделі — перевірка відповідності здобутих у результаті моделювання даних реальному процесу в економіці.
Перелічені етапи економіко-математичного моделювання перебувають у тісному взаємозв’язку, зокрема можуть існувати зворотні зв’язки між етапами. Так, на етапі побудови моделі може з’ясуватися, що постановка задачі суперечлива чи призводить до занадто складної математичної моделі. Тоді вихідну постановку доводиться коригувати.
Найчастіше потреба повернутися до попереднього етапу постає на етапі підготовки вихідної інформації. Якщо необхідної інформації немає або її пошук тягне за собою великі витрати, доводиться повертатися до етапу формалізації і пристосовуватися до наявної інформації.
Отже, моделювання являє собою циклічний процес. За останнім етапом необхідно переходити до першого й уточнювати постановку задачі згідно зі здобутими результатами, потім — до другого й уточнювати (коригувати) математичний модуль, далі — до третього і т. д.
Контрольні запитання та завдання
На чому ґрунтується можливість застосування моделей під час дослідження реальних систем?
Наведіть приклади моделей (фізичних, натурних, графічних, математичних) систем різноманітної природи.
Охарактеризуйте метод опису систем за допомогою «чорної скриньки». У чому його недоліки та переваги? Наведіть приклади його застосування.
Наведіть класифікацію математичних моделей, що найчастіше використовуються в економіці.
У чому полягають основні етапи економіко-математичного моделювання?
Чому моделювання являє собою циклічний процес?