Категорії

Дипломні, курсові
на замовлення

Дипломні та курсові
на замовлення

Роботи виконуємо якісно,
без зайвих запитань.

Замовити / взнати ціну Замовити

15.2. Показники Ляпунова

15.2. Показники Ляпунова

Одним із найважливіших результатів синергетики став висновок стосовно принципової обмеженості довжини часового горизонту прогнозу поводження навіть для порівняно простих систем. Це стосується систем, чутливих до початкових умов. Отже, якщо розглядати дві близькі траєкторії  динамічної системи

,

то відстань між спочатку нескінченно близькими траєкторіями  зростатиме з часом в середньому експоненціально:

.

Величина  називається показником Ляпунова і характеризує горизонт передбачуваності — проміжок часу, на який можна дати прогноз поводження досліджуваної системи. Існує по одному показнику Ляпунова для кожного з вимірів фазового простору.

Формально показники Ляпунова динамічної системи  визначаються виразом:

,

де  — і-те власне значення матриці, складеної з перших частинних похідних від вектор-функції  за компонентами вектора  (матриці Якобі).

Додатний показник Ляпунова характеризує розтягування фазового простору, або швидкість розбігання близьких точок. Від’ємний показник Ляпунова відбиває стиснення, тобто швидкість, з якою система відновлюється після збурення.

Впорядкований за спаданням такий набір показників утворює спектр показників Ляпунова  і дає змогу класифікувати атрактори (табл. 15.1).

Таблиця 15.1

КЛАСИФІКАЦІЯ АТРАКТОРІВ

Тип атрактора

Розмірність фазового простору

Знаки показників Ляпунова

Нерухома точка

1

(–)

Нерухома точка

2

(–, –)

Граничний цикл

2

(0, –)

Нерухома точка

3

(–, –, –)

Граничний цикл

3

(0, –, –)

Двовимірний тор

3

(0, 0, –)

Дивний атрактор

3

(+, 0, –)

Існують різні підходи до кількісного визначення показників Ляпунова, наприклад, алгоритм Бенеттіна (Benettin) [5; 12]. Роз­глянемо дві траєкторії, що виходять з близьких точок x0 та , де . Візьмемо деякий часовий інтервал T і, розв’язавши чисельно рівняння динаміки, знайдемо вектори стану в момент T: . Відношення  характеризує зміну довжини (у загальному випадку норми) вектора збурень за час T. Далі візьмемо інший вектор такого самого напрямку завдовжки e, тобто . Далі продовжимо процедуру чисельного розв’язування рівняння з початковою точкою . Діставши вектори стану та збурень у момент 2T: , обчислимо відношення  і т. д. (див. рис. 15.1).

Рис. 15.1. Ілюстрація до відшукання старшого показника
Ляпунова за алгоритмом Бенеттіна

Однак цей алгоритм передбачає, що нам відома математична модель динамічної системи. Коли ця модель невідома, ми не знаємо ні матриці Якобі, ні розмірності фазового простору, і тому необхідні інші алгоритми. Так, Вольф (Wolf) запропонував алгоритм розрахунку найбільшого показника Ляпунова за реалізацією часового ряду, ідею якого викладено, наприклад, у [5].