3.1.3. Інтуїтивний формалізм і конструктивний номіналізм
Другий етап творчості Леснєвського, або логічний, привів його до створення системи, що складається з трьох згаданих теорій - Мереології, Онтології і Прототетики. До правил і визначень в теоріях пред'являлися жорсткі вимоги, які полягали перш за все на тому, що вони повинні були контролювати інтуїцію дослідника щодо реальності. Леснєвський вважав, що кожна формалізована система "щось" і "про щось" говорить. Його висловлювання виражають зв'язок математики з дійсністю: "Я не маю жодних симпатій до будь-якого роду "математичних забав", які полягають на тому, що за допомогою тих або інших умовних правил виписуються більш-менш красиві формули, не обов'язково осмислені і навіть, як деякі "гравці в математику" вважають, з необхідністю позбавлені значення. Тому я не вкладав би праці в систематизацію і багатократний контроль правил моїх систем, якби не приписував твердженням цих систем абсолютно певного значення, при якому кодифіковані цими правилами методи виводу і дефініції цих систем поза сумнівом інтуїтивно значущі. Не бачу ніякої суперечності в тому, що вважаючи себе переконаним "інтуїціоністом" одночасно використовую при побудові своїх систем радикальний формалізм. Я труджуся над представленням різних дедуктивних теорій для того, щоб в послідовності осмислених речень виразити ряд думок, якими володію в тій або іншій області, з тим, щоб виводити одні речення з інших так, щоб це було у згоді з правилами висновку, які я вважаю такими, що "інтуїтивно" зобов'язують". ([1929], S.78) Таким чином, формалізація для Леснєвського була засобом, а не метою самою по собі. Він вважав, що безліч технічних інновацій в логіці сприяє затиранню "[...] відмінності між математичними науками, які сприймаються як дедуктивні теорії і служать якомога більш точному науковому сприйняттю різноманітної дійсності світу, і такими несуперечливими дедуктивними теоріями, які насправді забезпечують можливість отримання на їх основі численних все нових і нових тверджень, відзначених однак одночасно відсутністю яких-небудь пов'язуючих їх з дійсністю інтуїтивно-наукових переваг". ([1927], S.166) В цьому ж дусі Леснєвський критикував "архітектонічно рафіновані конструкції" Цермело або ж фон Неймана, яких вважав "чистими формалістами". В зв'язку з цим він писав: "Позаінтуїтивна математика не містить в собі дієвих ліків проти нездужання інтуїції". (S.167)
Творець Мереології, Онтології і Прототетики вірив, що логічна теорія описує світ і не може це робити довільним чином; вірив, що краще всього, а саме єдиним способом робить це класична, екстенсіональна і двозначна логіка. Тому він не виявляв жодної зацікавленості до багатозначних логік, які були для нього штучно сконструйованими системами, позбавленими будь-якого інтуїтивного значення. Тому він не виявляв ніякої зацікавленості і до формальної метаматематики, мимовільним творцем якої був унаслідок формулювання ряду ідей, якими керувався в своїх дослідженнях Тарський. Можливо, саме тому на нього не справили враження епохальні результати Гьоделя, які стосуються обмеження формальних систем (неповнота, неможливість доказу несуперечності деяких систем у межах цих же систем), оскільки ці обмеження торкалися якраз систем позаінтуїтивної математики.
Я.Воленський [1985] справедливо вважає, що Леснєвський поділяв погляди Брауера про зв'язок логіки з мовою математики, але не з її змістом; однак звідси не слід витягувати далеко сягаючих наслідків, оскільки інтуїціоністський формалізм Леснєвського має перш за все онтологічний характер, тоді як інтуїціонізм Брауера - епістемологічний. Саме на цій підставі Леснєвський мав намір побудувати всю систему основ математики. При цьому слід правильно розуміти аподиктичні твердження Леснєвського про "мою інтуїцію" або "інтуїтивну для мене значущість". Це не означає, що Леснєвський вважав критерії значущості в логіці суб'єктивними. Прототетика є певною версією числення висловлень і "логічна значущість" її тверджень нічим не відрізняється від "логічної значущості" тверджень звичайного числення висловів. У свою чергу, Онтологія є теорією імен, логічна значущість тверджень якої розуміється на загальних підставах. "Суб'єктивізм" Леснєвського має місце єдино в Мереології і торкається єдино трактування поняття множини. Саме в Мереології інтуїція Леснєвського починає грати нетривіальну роль, тоді як Онтологія і Прототетика - це способи реалізації цієї інтуїції.
Мереологія, або, як ще називав її спочатку Леснєвський, Загальна теорія множин, з'явилась одночасно з виникненням довір'я до формальних способів запису тверджень про класи, множини і т.п. витвори. Початок відходу від "загально граматичних і "логіко-семантичних" засобів нотації поклала книга Я.Лукасевича "Про принцип суперечності у Аристотеля". [1910] З неї Леснєвський вперше дізнався "про існування на світі "символічної логіки" п. Бертрана Рассела, а також про його "антиномію", яка стосується "класу класів, що не є своїми елементами"". ([1927], S,169) Проте перше знайомство з символічною логікою, як вже згадувалося, наповнило Леснєвського огидою до неї і, як він вважає, не з його вини. Оселком, на якому відточувалася інтуїція Леснєвського у формальному викладі, стали "Принципи математики" Уайтхеда і Рассела. Не будучи згідним ані із стилем цього твору, ані із запропонованим в ньому рішенням антиномії, Леснєвський прийняв виклик, можливо, ще і внаслідок свого відношення до Г.Фреге, про котрого він писав: "Найбільш імпонуючим втіленням результатів, досягнутих в працях по обґрунтовуванню математики в справі солідності дедуктивного методу, а також найціннішим джерелом цих результатів з грецьких часів до теперішнього часу, є для мене "Основні закони арифметики" Готтлоба Фреге". ([1927], S.160)
Критика Леснєвського починається наступним зауваженням: "З приводу сумнівів семантичного характеру, які охопили мене при безрезультатних спробах прочитати праці, написані "логістиками", кожний може собі усвідомити, якщо уважно проаналізує коментарі, якими п.п. Уайтхед і Рассел наділили окремі типи виразів, що входять в "теорію дедукції", і розсудити при цій нагоді, скільки у виказаних коментарях вміщається рафінованого обману, призначеного для читача, привченого більш менш серйозно відноситься до того, що він читає". ([1927], S.170) Леснєвський задається питанням про значення виразу "|–: p. É. p ÚÉ q, p Ú q, оскільки саме цього виду вирази входять частинами в аналізовану аксіому. Словесні коментарі Рассела і Уайтхеда можуть бути зрозумілі двояко, вважає Леснєвський. Згідно одному з них, реченню, яке належить стверджувати, відповідає речення, розміщене після знаку ствердження |– і крапок, тоді як друге трактування припускає ствердження всього виразу. У зв'язку з цією двозначністю у Леснєвського виникають наступні питання: 1) Якщо деякий вираз "p" є реченням, то ствердження "p", тобто вираз "|–.p" також речення? 2) Якщо деякий осмислений вираз "p" є реченням, то відповідний вираз типу "|–.p" посідає таке саме значення? 3) Чим власне є аксіоми і речення - чи суть вони виразами типу "|–.p", або ж виразами, що знаходяться після знака ствердження? q", яке є однією з аксіом числення речень в "Принципах математики". Це речення пояснюється в коментарях Расселом і Уайтхедом так: якщо p істинно, то "p або q" істинно. На думку Леснєвського, цей коментар не дуже багато прояснює і тому слідує звернутися до коментарів, що стосуються виразів типу: |–: p, p
На думку Леснєвського можна сформулювати три різні концепції, які відповідають на поставлені питання. Концепція А. Ця концепція полягає у визнанні того, що знак "|–" стверджує те ж, що вислів "стверджується, що", а весь вираз "|–.p" - те ж, що й вислів "стверджується, що p". Тому, якщо вираз "p" є реченням, то вираз "|–.p" має той же сенс, що і речення "стверджується, що p", але інше значення, ніж речення "p". Аксіомами і теоремами є повністю вирази типу "|–.p". Концепція B. Знак ствердження значить те ж, що вислів "тим, що написано, стверджується", а вираз типу "|–.p" може бути прочитаний за допомогою цього вислову так: "тим, що написано, стверджується p". Якщо "p" - речення, то вираз "|–.p" не є реченням. Він складається з трьох частин. Знак ствердження є реченням, що складається з одного виразу, якому в природній мові відповідає речення "тим, що написано, стверджується"; наступною частиною є крапка (набір крапок), а третьою - речення "p". Ця цілісність, не будучи реченням, не може мати того ж сенсу, що речення "p". У зв'язку з цим аксіомами і теоремами не є вирази типу "|–.p", але частини цих виразів, наступні після знаку ствердження і крапок. Концепція С. Значення виразу "|–.p" таке ж, як і речення "p", а вирази типу "|–.p" можна без зміни їх значення прочитати так само, як їх частини, тобто вирази типу "p". Тому вирази типу "|–.p", а так само аксіоми і теореми є реченнями системи. При цьому доводиться домислювати, що використання знака ствердження є для читача вказівкою того, що в системі прийняті ті і лише ті речення, які містять знак ствердження.
Всі три рішення, на думку Леснєвського, викликають серйозні побоювання. Відносно концепції А, слід відмітити, що, якщо вирази типу "|–.p" мають той же сенс, що вислів "стверджується, що p", то тоді ці речення є реченнями про творців системи; безліч таких речень взагалі не є системою логіки, але "дедуктивною сповіддю творців теорії коментарів". Щодо концепцій B і С Леснєвський зауважує, що, якщо знак ствердження повинен виконувати профілактичну роль, усуваючи сумніви читача щодо того, чи стверджується деяке символічне речення, то Рассел і Уайтхед поступають непослідовно, оскільки наділяють знаком ствердження речення, які не стверджують в системі, як наприклад тоді, коли знак ствердження передує послідовності деяких речень, які не є теоремами логіки.
Далі Леснєвський займається аналізом смислу заперечення. Причиною є наступна дефініція в "Принципах математики": ".p É q.=.ù pÚq." У зв'язку з цією дефініцією речення типу "q. É. pÚr" можна інтерпретувати за допомогою речень типу
(1) ù q. Ú. p Ú r.
Який тут смисл заперечення? - запитує Леснєвський. Рассел і Уайтхед вважають, що символ "ù p" представляє речення "не-p" або "p є фальшю". Але, якщо вираз "p" є реченням, то речення типу "p є фальшю" може мати сенс тільки тоді, коли "p" суб'єкт речення "p є фальшю" виступає в матеріальній супозиції (згадується). Кінець кінцем речення "p є фальш" є реченням про речення "p", значущим те ж, що й речення "<p> є фальш"; суб'єкт цього речення, тобто вираз "<p>" є ім'ям речення "p" і не виступає, очевидно, в матеріальній супозиції. Леснєвський ставить у провину авторам "Принципів" надмірно недбале користування лапками. А це призводить до того, що читач змушений додумувати, що речення "p є фальш" і речення "<p> є фальш" значать одне і те ж. Кінець кінцем з речення (1) ми одержуємо два речення, які є інтерпретаціями виразу "ù q. Ú. p Ú r":
(2) не-q. Ú. p Ú r ,
(3) "q" є фальш. Ú. p Ú r.
Аналогічна ситуація виникає при інтерпретації виразів типу "pÚq", які Рассел і Уайтхед ототожнюють з реченням "p є істина або q є істина". Але до "p є істина" можуть бути застосовні заперечення, аналогічні тим, які були застосовні до "p є фальш", унаслідок чого дане речення інтерпретується як "<p> є істина". Застосовуючи до (2) і (3) різні комбінації оцінок і трактувань модусів виразів "p" і "q" в інтерпретації виразу "pÚq" ми отримаємо, зауважує Леснєвський, інші способи прочитання цих речень, а решта з'являться тоді, коли ми схочемо "q є фальш" замінити реченням "не-q є істина"; загалом Леснєвський подає 17 інтерпретацій речення типу "q. É. p Ú r" і всі вони на основі цієї металогіки можуть вважатися рівнозначними.
Підсумовуючи критичні зауваження, Леснєвський писав: "Спілкуючись з 1914 р. більш менш систематично з роботою пп. Уайтхеда і Рассела, особисто я лише через чотири роки зрозумів, що зразки т.зв. теорії дедукції, якщо не звертати увагу на знаки ствердження, стають зрозумілими і "починають триматися купи", якщо речення типу "ù p", "pÚq", "pÉq" і т.д., що входять до їх складу, послідовно інтерпретувати за допомогою відповідних речень типу "не-p", "p або q", "якщо p, то q" і т.д., доповнених у разі можливих непорозумінь лапками, і у жодному випадку - всупереч коментарям авторів - я не вважаю допустимим прочитання вказаних прикладів за допомогою речень, що стосуються знову ж речень, і стверджуючих які-небудь відношення, як, наприклад, відношення "імплікації" між реченнями". ([1927], S.181)
Ці роздуми Леснєвського відносяться до періоду 1917-1918 рр., але написані в 1927 р. і саме вони привели його до ряду фундаментальних ідей. Однією з найважливіших було послідовне розрізнення мови і метамови: речення "якщо p, то q" належить до мови, а речення "якщо <p> істинно, то <q> істинно" - до метамови. Логічна система повинна конструюватися в предметній мові, а коментуватися - в метамові; мішанина мови з метамовою приводить до непорозумінь і плутанини. З'ясувавши для себе ситуацію з предметною мовою і мовою коментарів до неї (метамовою), Леснєвський "відчув довіру" до символічної мови, до якої раніше відносився скептично.
І нарешті, останній "урок", який витягнув для себе Леснєвський зі штудій "Принципів математики". Йдеться про проблему екстенсіональності. Коментуючи працю Рассела і Уайтхеда Леснєвський вказав на труднощі, які виникають у зв'язку з висловом "стверджується, що". Нагадаємо, що на його думку прочитання тверджень логіки за допомогою цього вислову призводить до розуміння логіки як "дедуктивної сповіді творців теорії коментарів". Вираз "стверджується, що" є інтенсіональним оператором, а його використання приводить, окрім труднощів з підстановкою, до психологізму. Огида до інтенсіональних операторів (або функторів, як їх називає польська традиція) у Леснєвського була настільки сильно розвинута, що інтенсіональні контексти він вважав взагалі поза сферою логіки. Для Леснєвського термін "логіка" був просто рівнозначний терміну "екстенсіональна логіка".
Отже, результатами критики Леснєвським "Принципів математики" виявилися два важливі положення: по-перше, розділення мови і метамови і, по-друге, переконання в екстенсіональності всієї логіки.