3.1.6. Прототетика

Прототетика, будучи однією з теорій системи основ математики, з'являється тоді, коли "одиничне речення існування" починає іменуватися, щоправда, під виглядом скорочень.[1] Леснєвський пише, що вираз типу "А Î b.= p" є скороченням речення, яке він прочитує наступним чином: "Про предмет А я скажу, що він є b тоді і тільки тоді, коли p". ([1929], S.63) Звичайно, "p" є пропозиціональною змінною, а сама Прототетика - пропозиціональним численням, побудованим, якщо можна так висловитися, у дусі Мереології і Онтології, тобто за допомогою номінації і еквівалентності речень - процесів, які скрупульозно контролюються правилами теорії і в ході яких породжується нескінченна ієрархія категорій. Тому часто Прототетика окреслюється як узагальнене пропозиціональне числення з кванторами, які зв'язують пропозиціональні змінні, функтори від пропозиціональних змінних, функтори від функторних змінних від пропозиціональних змінних і т.д. Коротше кажучи, квантори в твердженнях Прототетики зв'язують змінні семантичних категорій: категорії речень і категорій, що позначаються довільними дробами, чисельники і знаменники яких редукуються до речень. Згідно вимогам Леснєвського аксіоми Прототетики повинні записуватися виключно за допомогою функтора еквівалентності, хоча потім виявилося, що Прототетику можна сформулювати також з використанням імплікації. На жаль, одна лише еквівалентність ще не визначає інші логічні функтори пропозиціонального числення. Тому важливим кроком в справі побудови Прототетики виявилися результати Тарського [1923], котрий брав в ній активну участь і показав, що за допомогою еквівалентності і універсального квантора можна визначити заперечення і кон'юнкцію. Разом з тим Тарський довів, що при використовуванні кванторів, які зв'язують пропозиціональні і функторні змінні, вдається виразити принцип екстенсіональності:

[f,g]\[p,q]:f(p,q).º.g(p,q): º:[j]:j{f}.º.j{g}

Одначе Леснєвський вважає, що пропозиціональні функції "типу "j{f}" "j{f,q}" "j{f,q,h}" і т.д., щонайменше від одного аргументу, не є реченнями для всіх можливих значень їх аргументів". Тому для кожного розподілу значень аргументів, наприклад, 0 і 1, виникає питання про відмінність значень функцій, які для даного розподілу, не дивлячись на тезу про екстенсіональність, можуть відрізнятися іменами і є функціями-константами. Тому побудова Прототетики за допомогою правил підстановки, відділення і використовування кванторів все ж таки головним чином залежить від правил, регулюючих використовування визначень, якими і вводяться в систему нові імена. З другого боку, слід пам'ятати про крайній номіналізм Леснєвського, продиктований частково тією ж екстенсіональністю, яку у випадку Прототетики слід обґрунтувати логічно, тобто визначення, яким вводиться новий термін, повинне одночасно бути і твердженням системи. А оскільки розвиток Прототетики відбувається в тому ж напрямі, що і в Мереології і в Онтології, тобто в буквальному розумінні "зліва направо", то правило запису визначення, яке має форму еквівалентності, наказує дефінієндуму знаходитися завжди в лівій частині цієї еквівалентності. Тому крім звичайного правила відділення, сформульованого для еквівалентності і яке говорить, що "додавання до системи речення S допустиме тоді, коли еквівалентність А, права частина якої еквіморфна S, і деяке речення, еквіморфне з лівою частиною еквівалентності А, вже належать до системи". ([1929, S.15) Леснєвський подає також "ненатуральний різновид "правила відділення", яке дозволяє стверджувати, що речення S може приєднуватися до системи, коли вже еквівалентність А, ліва частина якої еквіморфна S, і деяке речення, з правою частиною еквіморфною еквівалентності А, належать до системи". (S.58)

В розвитку Прототетики, яка налічує п'ять етапів, що відповідають п'яти системам з різними аксіоматиками, брали участь разом з Леснєвським також Вайсберг і Собоцинський. Кінець кінцем Прототетика була зведена до однієї аксіоми, найкоротша з яких належить Собоцинському і яку ми тут подаємо:[2]

[pq]:: p º q. º\[f] \f(pf(p[u].u)). º:[r]:f(qr). º.q º p.

При використанні вище згаданих правил з цієї аксіоми випливають всі закони двозначного числення висловів, принцип екстенсіональності і принцип двозначності.

Прототетика є несуперечливою теорією. Питання про повноту Прототетики остаточно невирішене, але Слупецкий [1953] довів, що повна т.зв. елементарна Прототетика, тобто система, в якій квантори зв'язують пропозиціональні змінні і функторні змінні першого роду, тобто змінні для функторів від пропозиціональних змінних; повнота в цьому випадку розуміється таким чином: для кожної формули p, що не містить вільних змінних, p є теоремою елементарної Прототетики або формула p, приєднана до елементарної Прототетики, приводить до протиріччя.

На закінчення нарису Прототетики відзначимо, що вона, взагалі кажучи, не є численням, бо інтерпретована принаймні номіналістично в тому сенсі, що її предметами можуть бути і є перш за все імена як інскрипції; істиннісні значення не тільки в Прототетиці, але й в усій системі "основ математики" не виділяються в особливий вид ні імен, ні предметів і часто просто маються на увазі, коли йдеться про теореми Прототетики. З урахуванням вище перерахованих властивостей цієї теорії можна погодитися з думкою, яка побутує в польській літературі про Леснєвського, що "Прототетика в певному значенні є абсолютним численням речень і неможливо уявити собі більш сильної системи числення речень. Очевидно, Прототетика є системою більш сильною, ніж числення речень із змінними функторами, яке може бути ототожнене з елементарною Прототетикою. Здається, що в абсолютності, яка саме таким чином розуміється, міститься цікава філософська проблема. У зв'язку з тим, що в Прототетиці вдається довести принцип двозначності, то ця система може вважатися найадекватнішою репрезентацією класичної логіки речень."[3] До сказаного залишається додати, що під реченням слід розуміти впроваджене вище т.зв. номінальне судження.

Оскільки для Леснєвського розвиток "системи основ математики" відбувається головним чином за допомогою визначень, то вони власне і склали ядро його "теорії дедукції", яку він рішуче відділяв від системи своїх теорій - Прототетики, Онтології і Мереології. Не дивлячись на те, що визначення в Прототетиці включаються до складу її речень і мають творчий характер, "проблема дефініцій" Леснєвським була виділена окремою частиною в процесі побудови системи і складає ядро "мови коментарів". Питанню визначень була присвячена окрема робота "Про дефініції в так званій теорії дедукції".

ТЕОРІЯ ДЕДУКЦІЇ. Ця робота є "резюме курсу лекцій, названого "Про основи так званої теорії "дедукції", прочитаного у Варшавському університеті" в 1930/31 академічному році. Головну мету цієї роботи Леснєвський бачить у "формулюванні правил, які дозволять із зіставлення аксіом і теорем як дефініцій, позначених деяким спеціальним чином, приєднати їх до системи "теорії дедукції" і по можливості прецизійним способом кодифікувати умови, які для таких дефініцій є достатніми. Проблема дефініцій в основах "теорії дедукції" знаходиться абсолютно поза системою основ математики [...]". ([1931], S.291)

Зміст обговорюваної роботи складають "термінологічні пояснення" (terminologische Erklarung) на прикладі однієї з аксіом числення висловів і короткого резюме. Термінологічні пояснення є критеріями, які описують на структурному рівні приналежність того або іншого виразу до виразів, званих дефініціями, наслідками відділення, наслідками підстановки, реченнями, фундаментальними виразами, запереченням і т.п. витворами, що розглядаються на рівні інскрипцій або їх еквіморфності. Ці критерії за задумом Леснєвського повинні виражати синтаксичні еквіваленти семантичних властивостей термінів, що використовуються. Одначе наслідком вибраного способу викладу системи, в основі якої знаходиться процес номінації у всіх теоріях, у тому числі і в "теорії дедукції", таким наслідком виявляється паралелізм процесів на всіх семіотичних рівнях, у тому числі і логічному. Як приклад на підтвердження сказаного приведемо одне з перших термінологічних пояснень, оскільки інші пояснення вельми розгалуженні і без розгляду конкретного прикладу, який представляв би послідовність інскрипцій, не багато що скажуть.

"Термінологічне пояснення I." Про предмет А я скажу - пише Леснєвський -, що він є комплекс (Komplex) а (використано в genetivus pluralis -Ст.Л.), тоді і тільки тоді, коли виконуються наступні умови: 1) А є вираз; 2) коли деякий предмет є слово, що відноситься до А, то він відноситься до визначеного а; 3) коли деякий предмет B є а, деякий предмет С є а і певне слово, що відноситься до B, відноситься до С, то B є той же предмет, що С; 4) коли деякий предмет є а, то він є вираз, який відноситься до А". ([1932],  S.292)

На підставі цього і подібних термінологічних пояснень, що мають своїм предметом фізичні об'єкти у вигляді конкретних записів, Леснєвський формулює три умови, виконання яких дозволяє вважати приєднувані до системи речення теоремами. Умови ці такі: "1) приєднуване твердження є наслідком підстановки визначеного раніше [отриманого] твердження системи "теорії дедукції" щодо останнього твердження цієї системи; 2) приєднуване твердження є наслідком відділення певного раніше отриманого твердження "теорії дедукції" щодо певного раніше отриманого твердження цієї системи; 3) приєднуване твердження є дефініцією щодо останнього твердження цієї системи". (S.309)

"Теорія дедукції", що таким чином розуміється, певною мірою пояснює характер раніше розглянутих теорій, які складають "систему основ математики" і є конкретними фізичними витворами; ці утворення в жодному випадку не є закінченими об'єктами, оскільки їх можна розширити і в цьому значенні вони є об'єкти динамічні. Разом з тим конструктивний номіналізм Леснєвського зумовлює унікальність його теорій. Так дві версії, наприклад, Прототетики, одна з яких базується на еквівалентності, а інша - на імплікації є двома абсолютно відмінними логічними системами, не дивлячись на те, що в звичайному значенні вони еквівалентні і взаємно перекладаються. Навіть дві ізоморфні з точністю до еквіморфності системи, відповідно до Леснєвського, не є двома екземплярами однієї і тієї ж системи, але двома різними системами. Разом з тим системи Леснєвського надзвичайно багаті в тому сенсі, що допускають всі можливі семантичні категорії, які вдається отримати з основних категорій, тобто імен і речень. Щоб погодити вимоги конструктивного номіналізму з можливістю розширення систем новими твердженнями Леснєвський був змушений в дрібницях розробляти правила конструкції своїх систем. Правила конструювання є найскладнішим елементом систем Леснєвського і складаються, як було показане, з термінологічних пояснень, які виражають суто структурні особливості виразів системи, тобто вони торкаються виключно форми виразів, а не їх смислу. Саме тому автор цих теорій надав їм аксіоматичної форми і у Львівсько-Варшавській школі був одним з ініціаторів формулювання критеріїв побудови аксіом, які стосуються їх кількості, довжини і органічності. (Органічною називається такий запис речення, власна частина якого не є реченням системи.) Щодо своїх систем Леснєвський додатково постулював, що аксіоми повинні містити якомога менше понять, які належать до різних семантичних категорій, а також бути канонічними аксіомами; система аксіом є канонічною, якщо складається з однієї аксіоми, ця аксіома має вид еквівалентності, а квантори, записані зовні еквівалентності, зв'язують змінні, що знаходяться виключно в лівій частині еквівалентності. В системах Леснєвського взагалі немає вільних змінних: всі змінні "зв'язані" кванторами.

Як було відзначене, Леснєвський використовував власну логічну символіку, в якій функтори завжди записуються перед аргументами, але в нотації використовуються дужки, оскільки чисельність семантичних категорій не дозволяє йому повністю відмовитися від розділових знаків. Різного виду дужки виконують не тільки розділову роль, але також дозволяють однозначно ідентифікувати семантичні категорії: вирази, охоплені дужками однієї форми, належать до однієї і тієї ж семантичної категорії. Знаючи символи основних семантичних категорій, інші категорії можна прочитати безпосередньо розглядаючи структуру даної формули. Можна припустити, що оригінальний запис логічних функторів у Леснєвського інспірований аналогічною спробою Фреге, котрий для польського логіка був взірцем в справі точності викладу системи. Цікаво також відзначити, що Леснєвський не виділяв категорію операторів (кванторів, операторів дескрипції). І це цілком зрозуміло, якщо врахувати, що названа категорія грає не останню роль в підстановкових теоріях, невідступно пов'язаних перш за все з результатами підстановок у вигляді істиннісних значень, які ведуть свій родовид від реальних суджень, тоді як основою вибору семантичних категорій для Леснєвського послужило т.зв. номінальне судження, інтралінгвістичний процес перейменування в якому припускає тільки наявність імен; зокрема тому аргументи одиничного речення в Онтології належать до однієї семантичної категорії, а не до різних, як було слід би очікувати при переході від судження до числення предикатів. Область дії кванторів у Леснєвського визначається спеціальними дужками, які додатково інформують про семантичні категорії, що входять в дану формулу. Тому лінеарна структура формули сумісно з термінологічними поясненнями містить всю семантичну інформацію про дану формулу.