3.2. Економіко-математичні моделі функціонування та розвитку туристично-рекреаційних систем

Ключові слова та поняття

Моделі оптимального розміщення туристичних комплексів, коефіцієнт рекреаційної привабливості, метод експертних оцінок, туристично - рекреаційний об'єкт, локальні максимуми, рекреаційний потенціал, дискретне програмування, детермінована задача, рекреанти, максимально та мінімально можливий попит на рекреаційні послуги, регіональна модель, регіональний центр інвестицій, модель оптимального інвестування туризму, математичне сподівання, метод динамічного програмування, модель планування максимальної рентабельності, однокритеріальні моделі, багатокритеріальні моделі, пошук оптимальної стратегії, попит на рекреацію, гравітаційна модель.

 

У даному підрозділі розглядаються деякі найпростіші моделі функціонування і розвитку туристично-рекреаційних систем (ТРС), які можуть бути використані для аналізу та прогнозування індустрії туризму як на регіональному так і на державному та міжнародному рівнях. Всі ці моделі можна також алгоритмічно та програмно реалізувати, що без сумніву має суттєве прикладне значення. Успішне використання та апробація довільної з моделей в значній мірі буде залежати від інформаційного забезпечення, про що не варто забувати.

Моделі оптимального розміщення туристичних

комплексів на заданій території

Розглянемо деяку територію Т (наприклад, територію Чернівецької області або іншого регіону), яка є привабливою в плані туристичної індустрії. Будемо вважати, що на території Т розміщені m туристично-рекреаційних об'єктів (ТРО), кожний з яких характеризується певним набором рекреаційних характеристик. Для простоти будемо характеризувати і-ий ТРО тільки одним числом pі - , коефіцієнтом рекреаційної привабливості або рекреаційним потенціалом. Величини pі, і=1,m, можна визначити, наприклад, за допомогою методу експертних оцінок. Щоб з'ясувати місця оптимального (або квазіоптимального) розміщення туристичних комплексів (ТК) на даній території Т, карту (або картографічне зображення) території Т покриємо деяким прямокутником П=[a,b]*[c,d]. У системі декартових координат хОу (тобто у векторному просторі R2) можна прямокутник П визначити так:

а º х0 = arg min {x:   (х, у) Î Т},

X

 

b º х0 = arg max {x:  (х, у) Î Т},

у

 

с º y0 = arg min {у:   (х, у) Î Т},

у

 

d º yМ = arg mах {у:            (х, у) Î Т}.

у

Запис (х, у) Î Т}, означає, що х0 є розв'язком задачі

 

mіn x

х

(х,у)ÏТ

Аналогічний зміст мають і інші записи такого типу.

Очевидно, що прямокутник Õ містить множину (територію) Т(ТÌП).

Розіб'ємо прямокутник Õ (а значить територію Т) сіткою D=D х*Dу, де

,        ,

, ,

, ,

,     ,

Надалі слід вважати, що hx = hy.

Нехай  - множина всіх вузлів сітки D, які розміщені на території Т. Пронумеруємо всі вузли сітки D(Т) індексами  та позначимо через Рj - рекреаційний потенціал j-uo вузла (тобто вузла (хj – yj )ÏD(Т) ) в кругу

(х - хj)2 + (у - yj )2 < R2 , де R - радіус (в км)).

Величини pj будемо визначати так:

,

де Ij - множина індексів ТРО, які знаходяться від вузла-центру (хj,уj) на віддалі, яка не перевищує R км.

Стратегія вибору місць розміщення ТК така: туристичні комплекси повинні бути розміщені в  таких місцях, сумарний рекреаційний потенціал яких є максимальним.

Введемо змінні:

 

 

Тоді модель оптимального розміщення туристичних комплексів на території Т є наступною задачею булевого (дискретного) програмування:

 

Згідно з розв'язком цієї задачі ТК слід розмістити в точках локальних максимумів рекреаційного потенціалу. Доцільність такого вибору підтверджена експертами при вивченні, наприклад, туристичної галузі в Криму [54].

Задача (2) - (3) є детермінованою задачею. У багатьох випадках є зміст розглядати стохастичні аналоги цієї задачі.

Справді, логічно припускати, що рекреаційні потенціали pі, і =  виділених на території T ТРО є випадковими величинами, тобто залежними від стану природи vÎW. Це означатиме, що, pі (v) i = , є функціями від елементарної події деякого імовірнісного простору (W,F,P), де W - множина елементарних подій, F - s-алгебра подій, Р - імовірнісна міра, визначена на W і F.

Зрозуміло, що тоді рекреаційні потенціали Pj, j =  вузлів сітки D(Т) також також будуть випадковими величинами:

Якщо М[-] операція математичного сподівання, то, враховуючи, можна написати рівність:

Тоді модель оптимального розміщення ТК на території Т зводиться до задачі стохастичного дискретного програмування (задачі планування за середніми):

 

Зауважимо, що у випадку, коли множина W складається з скінченого і невеликого числа елементів, то при визначенні оптимального розміщення ТК можна розглянути також модель планування за варіантами.

Задача (6) - (7) та їй подібні належать до класу важливих прикладних стохастичних моделей ризику.

 

Оптимальна організація функціонування туристично-рекреаційних систем

Однією з найбільш важливих проблем організації туристично-рекреаційної системи є проблема раціонального використання рекреаційних ресурсів, а також максимальне задоволення інтересів ТРС як окремого бізнесового комплексу.

Нехай ТРС складається з m туристично-рекреаційних об'єктів (ТРО) обслуговування, відвідувачі (рекреанти) яких діляться на n типів. Введемо наступні позначення:

- чисельність рекреантів j-гo типу в ТРО i;

 - шуканий вектор числа рекреантів типу j

(j=) розміщених в ТРО обслуговування i (i = ) ;

А(j) - матриця розміру (m*m), кожний елемент , якої є ймовірністю того, що рекреант j-го типу з ТРО i' переміститься в ТРО i у наступний період часу;

B(k,j) - матриця розмірності (m*m), кожний елемент якої  - це величина послуг типу k в пункті i', які потрібні відвідувачу j-го типу, який знаходиться в пункті (ТРО) i;

 - вектор вмістимості ТРО і для послуг k-го типу;

К – кідькість послуг в ТРС;

di(j) – максимальний попит рекреантів j-го типу на послуги ТРО і.

Тоді модель організації оптимального функціонування ТРС матиме вигляд:

Легко бачити, що в даній моделі максимізується загальна кількість рекреантів ТРС.

Співвідношення стверджують, що число рекреантів кожного типу в ТРС дорівнює сумі тієї частини, яка залишилась там від попереднього періоду і тих, що прибули з інших пунктів.

Обмеження (10) - це обмеженість на вмістимість рекреантів в залежності від послуг, а (11) - це обмеження на попит.

Як відзначено в [111], для такого типу моделей можна розглянути різні критерії функціонування ТРС.

Зауважимо також, що обмеження моделі (8) - (11) теж можна упростити або доповнити іншими обмеженнями, що дає змогу отримати інші варіанти моделей оптимального функціонування ТРС.

Крім вище вказаної розглянемо наступну модель оптимального функціонування ТРС.

Нехай рекреаційний процес в ТРС як процес відновлення фізичних, інтелектуальних та емоційних сил людини включає множину К послуг та забезпечується L рекреаційними ресурсами (природними ресурсами).

Позначимо через Ріj(k) - вартість послуги k для одного pекреанта j-го типу в ТРО з номером i;

xіj(k) - шукана кількість рекреантів j-го типу в ТРО з номером i, які користуються послугою k

К1 - множина послуг, які надаються рекреантами в ТРО з номером i (Кi Ì К) ;

dіj(k) - максимальний попит рекреантів j-го типу в ТРО з номером i на послугу k Ì К ;

rіj(k,l) - витрати рекреаційного ресурсу з номером l на послугу k для одного рекреанта j-го типу в ТРО з номером i;

- вектор пропозиції рекреаційних ресурсів, які можуть бути використані в рекреаційному процесі даної ТРС.

Очевидно, що власник ТРС буде прагнути максимізувати доход (сумарну вартість) від наданих послуг рекреантам різних категорій при заданих обмеженнях на пропозицію рекреаційних послуг та ресурсів.

Математична модель цієї ситуації матиме вигляд:

де Z- множина цілих чисел.

У моделі (12) - (16) знаходяться ті чисельні величини рекреантів, які забезпечують власнику ТРС досягнення мети.

У математичному плані задача (12) (16) є задачею цілочисельного лінійного програмування. На основі моделі (12) -(16) інколи є зміст розглянути інші варіанти моделей. Наприклад, коли немає диференціювання рекреантів на типи, модель (12) - (16) упроситься (зменшиться розмірність задачі).

Як відомо [111], проблема розміщення туристично-рекреаційної системи є однією з принципових проблем оптимального проектування регіональних рекреаційних систем. Через те при аналізі та прийнятті рішень органом чи особою, які уповноважені приймати рішення (назвемо їх ОПР) важливими є моделі оптимального розміщення ТРС.

Опишемо одну із цих моделей. Нехай

m - кількість можливих місць розміщення ТРС в заданому регіоні;

n - кількість центрів попиту (наприклад, населених пунктів) на послуги ТРС;

Pіj - максимально можливий попит на послуги ТРС з номером і в центрі попиту з номером j;

rіj - затрати часу на переміщення одного рекреанта з j-го центру попиту в і-ту ТРС;

Pj  - мінімально можливий попит на рекреаційні послуги в пункті попиту j;

Кі  - максимально можлива кількість рекреантів в ТРС з номером і;

xіj  - шукана кількість рекреантів із центру попиту, яких приваблює i-а ТРС;

dіj  - максимальний попит рекреантів з центру попиту j на i-ту ТРС.

Тоді можна формалізувати наступну модель:

У задачі (17) - (21) кожне з обмежень має чіткий реальний зміст. Задача (17) (21), в загальному випадку є задачею цілочисельного лінійного програмування.

Що стосується обмеження цілочисельності (тобто (21)), то інколи можна знехтувати.

У задачі (17)-(21) мінімізуються сумарні затрати часу на переміщення з пунктів попиту на рекреацію в туристично-рекреаційні системи. Звичайно є зміст також мінімізувати сумарні затрати коштів на переміщення. Для цього досить вважати, що rіj – це затрати коштів (вартість) переміщення одного рекреанта з центру попиту j в ТРС i ()

Тоді при тих обмеженнях, що і раніше, модель (17) - (21) матиме дещо іншу інтерпретацію.

Однак в обох випадках дана модель оптимізує деякі регіональні економічні показники.

Розглянемо можливість практичного вирішення задачі мінімізації спільних витрат по переміщенню туристів із одного пункту ТРС в будь-який з тих, що значаться в даному районі. Скористаємося статистичними даними по Чернівецькій області за 2000 рік.

За умовами задачі m = 3; n = 4

r1j - 3,5; 2,8; 3,5; 2,1. d1j – 16;         17,5>14;         18>10; 20>16.

r2j -2,5; 3,1; 4,0; 3,3.  d2j – 18,5;      19;       19,5;    25,0.

r3j, - 2,4; 3,4; 2,6; 2,9.            d3j – 28>15;   27;       26,5>3;           30.

Рішення задачі зводиться до рішення транспортної задачі, для чого складемо відповідну матрицю (табл. 3.2.1.).

Таблиця 3.2.1.

 

Після відповідних перетворень і розрахунків таблиця 3.2.1. набуде наступного вигляду (табл.. 3.2.2.):

Після відповідних перетворень і розрахунків таблиця 3.2.1. набуде наступного вигляду (табл.. 3.2.2.):

Таблиця 3,2.2.

 

Остаточний вигляд рішення задачі поданий у таблиці 3.2.3.

Перевірка по n і m показала, що задача вирішена.

Таблиця 3,2.3.

Це дає можливість вільного вибору переміщення у відповідну ТРС і планування очікуваних прибутків області від розвитку міжнародного туризму.

Zmin = 2,8 • 14 + 3,5 • 10 + 2,1 • 16 + 2,4 • 15+2,6 • 3 = 39,2 + 35 + 33,6 + 36,0 + + 7,8 =151,6

Таким чином, мінімізація витрат одного пункту по переміщенню з центра попиту j в TCP і () складають 151,6 гр.

Розвиток індустрії туризму залежить головним чином (при наявності ресурсів) від інвестиційної діяльності. Оптимальне вирішення цієї проблеми можливе з допомогою економіко-математичних методів.

Розглянемо задачу оптимального інвестування галузі туризму та рекреації з їх допомогою. Обмежимось регіональною моделлю (термін регіон тут може вживатись як на макро- так і на мікрорівні). Припустимо, що в даному регіоні знаходиться m туристично-рекреаційних систем (або пунктів), причому для кожної з них пропонується певна множина Мі () проектів розвитку та функціонування.

Інвестування цих проектів здійснюється деяким регіональним центром інвестицій, який акумулює в собі як державні так і приватні інвестиції. Основним завданням цього центру є збереження певних балансових співвідношень між економічними та екологічними показниками регіону, тобто регулювання допустимих обмежень (допустимої інфраструктури) процесу інвестування в регіоні як економіки в цілому, так і галузі туризму та рекреації.

Оцінка ефективності інвестиційного процесу може бути вибрана по різному. Нижче ми розглянемо в ролі даної оцінки сумарний прибуток від вкладених в розвиток рекреаційних систем інвестицій. Введемо позначення:

сij- прибуток від вкладеної одиниці інвестицій в j-ий проект розвитку і-ої ТРС ();

xij - обсяг інвестицій, вкладених в j-ий проект розвитку і-ої ТРС;

I - загальний обсяг інвестицій, які виділяються для розвитку туризму та рекреації даного регіону.

Тоді одна з найпростіших моделей оптимального інвестування галузі туризму та рекреації даного регіону матиме вигляд:

Зробимо два зауваження. По-перше, замість величини прибутку сij (якщо вона є випадковою величиною) слід брати її середньоочікуване значення, тобто математичне сподівання M [сij], що приводить нас до стохастичного аналогу моделі (22) - (24). По-друге, в багатьох випадках нас не стільки цікавить прибуток від вкладених інвестицій, скільки їх корисність (корисність інвестицій xijє деякою функцією kij (xij ). По-третє, обмеження (23) в загальному випадку слід змінити на обмеження-нерівність. Однак, методи розв'язування задачі (22) (24) в обох випадках аналогічні. Зупинимось детальніше на задачі (22) - (24).

Вона є задачею лінійного програмування (транспортного типу). Все ж її можна розв'язати методом динамічного програмування [6; 18]. Для цього задачу (22) - (24) будемо розглядати як задачу багатоетапної оптимізації (або задачу оптимального керування дискретним процесом зі скінченим числом етапів).

Перейдемо від двохіндексних змінних xij до одноіндексних u(l), а від сij до с(l) () . Тоді задачі (22) - (24) зведеться до дослідження ефективності вкладених інвестицій спочатку в один проект, а потім в два проекти і т.д., і накінець - в L проектів.

Отримаємо L станів системи, кожний з яких опишемо обсягом інвестицій x(l), -вкладених в перших l проектів. Величину u(l) будемо вважати величиною керування на 1-му етапі.

Тоді (22) - (24) зведеться до наступної задачі:

Задача (25) - (28) успішно розв'язується методом динамічного програмування. При реальних конкретних даних можна отримати реальний оптимальний розв'язок. Модель (25) - (28), як і їй подібні, входять в систему моделей оптимального керування економікою регіону [18;19].

Повернемось знову до процесу моделювання оптимального інвестування індустрії туризму та рекреації. Насамперед відзначимо, що з позицій регіону (ОПР) варто накласти певні обмеження (знизу та зверху) на величини xij. Це дасть можливість добитись раціонального інвестування всіх проектів розвитку туризму та рекреації у регіоні в цілому, а отже не порушити інфраструктуру цієї галузі.

Таким чином, доповнимо обмеження (23) - (24) обмеженнями:

де величини хij* та xij** повинні бути реально узгоджені із загальним обсягом інвестицій I (). Крім того, вилчинихij* та xij** можуть бути як заданими так і шуканими.

У довільному випадку отримаємо нову модель оптимального інвестування туристично-рекреаційної діяльності в регіоні - модель (22)-(24), (29).

У моделях (22) - (24) та (22) - (24), (29) можна вважати, що неявне врахований і екологічний фактор, тобто фактор боротьби із забрудненням навколишнього середовища в процесі туристично-рекреаційної діяльності та відновлення екосистеми. Запропонуємо інший (надзвичайно простий) варіант моделі оптимального інвестування туризму та рекреації в регіоні з врахуванням екологічного фактору.

Нехай для кожної i-ої ТРС відомі:

ai- доля капіталу, який використовується на розвиток ТРС();

bi - доля капіталу, який використовується на боротьбу із забрудненням, як наслідком рекреаційної діяльності ().

Зрозуміло, що визначення величин ai, bi () - це окрема задача, причому досить складна. Однак, в рамках моделі будемо вважати, що ця задача. Враховуючи ai та bi , кожна і-та ТРС може в даний період визначити мінімально допустимий обсяг капіталу Ii, який потрібний для збереження еколого-економічної рівноваги в районі ТРС.

Отже, обмеження (23) (24) і (29) слід доповнити обмеженнями:

Звичайно, в реальних моделях обмеження (23) - (24) і (29) -(ЗО) повинні бути узгодженими, тобто допустима множина, яку вони описують, повинна бути не порожньою.

У кінцевому результаті матимемо модель (22) - (24), (29) - (30) - модель оптимального інвестування рекреаційної діяльності в регіоні з врахуванням екологічного фактора.

Одним з важливих економічних показників функціонування довільного туристично-рекреаційного об'єкта (ТРО) як об'єкта, що продукує комплекс послуг, необхідних для задоволення необхідних потреб рекреанта, є рентабельність виробництва послуг.

Побудуємо модель планування максимальної рентабельності в туристично-рекреаційній системі. Позначимо через

m - кількість ТРО, які входять в дану ТРС;

ni - кількість різних послуг, які продукуються в i-му ТРО ();

rij(l) - питомі витрати туристично-рекреаційного ресурсу l-го виду на виробництво (чи надання) однієї послуги j-го виду в i-му ТРО;

L - кількість туристично-рекреаційних ресурсів, за допомогою яких в ТРС продукуються різні послуги;

R(l) - максимальна пропозиція l-го ресурсу;

xij - шукана кількість послуг j-го виду, які продукуються в ТРО i;

Рij - вартість однієї послуги j-го виду в ТРО i;

Vij - питомі виробничі витрати (в грошових одиницях) на виробництво однієї послуги j-го виду в ТРО s.

У прийнятих позначеннях модель планування виробництва послуг в ТРС з максимальною рентабельністю формалізується так:

Задача (31) - (33) є задачею дробово-лінійного програмування. Ця задача зводиться до задачі лінійного програмування, тому може бути розв'язана відомими методами [6;18].

Можна також розглянути аналог моделі (31) - (33), в якому всі або деякі змінні хij є цілочисельними. Задача планування виробництва послуг з максимальною рентабельністю в одному ТРО аналогічна до (31) - (33) та співпадає з стандартною задачею дробове-лінійного програмування [6; 18].

Заслуговує особливої уваги питання математичного моделювання багатокритеріальних систем, якою власне і є туристично-рекреаційна система.

Порівняно з однокритеріальними моделями, багатокритеріальні моделі відображають внутрішню сутність динамічного процесу розвитку та функціонування ТРС, а також мають, як правило, високий рівень адекватності реальним процесам та системам.

Запропонуємо одну із серії таких моделей. Нехай

xij - об'єм рекреаційного ресурсу j-го виду, який направляється для продукування послуг в ТРС ();

 - мінімально та максимально допустимі об'єми j -го ресурсу, які забезпечують нормальне функціонування ТРС;

aj - доля об'єму j-го ресурсу, який реально використовується в ТРС ((1 - aj) - доля відходів);

сj - прибуток ТРС від реалізації одиниці j-го ресурсу;

еj - витрати енергії на реалізацію одиниці j-го ресурсу;

kj - корисність (наприклад, оцінка споживача-рекреанта) від реалізації одиниці j-го ресурсу;

R - максимальна сумарна ресурсом потужність ТРС.

Тоді матимемо модель:

Очевидно, задача (34) - (39) є трьохкритеріальною задачею лінійного програмування.

Одним із методів розв'язування такої задачі є її зведення до багатопараметричної задачі лінійного програмування [57], яка полягає в максимізації функції

при обмеженнях (37) - (39) та обмеженнях вигляду:

Якщо коефіцієнтам bj () задати конкретні значення, то функція (40) буде конкретною згорткою і задача (34) -(39) зведеться до однокритеріальної задачі.

Однак зупинятись на детальному аналізі цих задач та методів їх розв'язування немає змісту. Зауважимо також, що в більш загальному випадку функції прибутку, корисності та витрат енергії можна вважати нелінійними.

В умовах ринкової економіки, коли існує жорстка конкуренція між об'єктами ринку, до яких, зокрема, належать туристично-рекреаційні системи, однією з важливих проблем с проблема розподілу обмеженого ресурсу. Моделювання процесу розподілу обмеженого ресурсу між користувачами (ТРС) ускладнюється тим, що користувачі не зацікавлені в розповсюдженні інформації про свої доходи.

Крім того, користувачем може бути не тільки окрема ТРС чи регіон, а й окрема країна і ін.

Розглянемо одну з найпростіших моделей такого типу. Нехай

R - наявна кількість обмеженого рекреаційного ресурсу;

n - число ТРС - користувачів між якими здійснюється розподіл даного ресурсу;

xj - кількість ресурсу, яку отримує j-тий користувач;

Рj(хj) - функція доходу-того користувача.

Модель розподілу обмеженого ресурсу має вигляд:

Якщо функції Pj(хj) відомі, то задачу (42) - (44) можна звести дo багатоетапної задачі оптимізації (або задачі оптимального керування) і розв'язати відомими методами (наприклад, методом динамічного програмування).

Якщо користувачі не зацікавлені в тому, щоб їх функції

Pj(xj), , були відомими, то задачу (42) - (44) не модна розв'язати одним координуючим органом.

В зв'язку з цим були розроблені так звані алгоритми децентралізованого розв'язування даної задачі, які не вимагають обміну інформацією між учасниками-користувачами [60].

 

Дослідження попиту та моделювання інтересів окремого рекреанта

Розглянуті вище моделі (наприклад, (12) - (16) або (8) - (11) відображають інтереси власника ТРС.

Зрозуміло, що актуальною задачею є також вивчення (або моделювання) інтересів (зокрема, економічних) окремого рекреанта. Нехай, як і раніше, ТРС включає в себе пі пунктів рекреації (ТРО). Позначимо через J- множину послуг, які надає ТРС в цілому, а через  - множину послуг, які надаються в ТРО i . Очевидно, JiÌJ,  Будемо вважати, що деякий потенційний рекреант має намір брати участь в рекреаційному процесі даної ТРС. Вивчимо поведінку рекреанта з позицій його інтересів.

Приймемо позначення:

si - деяка середньочікувана вартість переміщення рекреанта від місця знаходження М до пункту рекреації i ;

di'i, - середньоочікувана вартість переміщення рекреанта між рекреаційними пунктами i' та і (можна вважати, що dii=0,  a di'i=dii', , i'¹і);

сiji - середньоочікувана вартість послуги ji Î Ji в пункті і;

Рi - середньоочікувана вартість переміщення рекреанта з пункту і в пункт М після завершення рекреаційного процесу (часто Рi та si можуть співпадати);

Далі припустимо, що рекреанту потрібен набір N Ì J кількістю n послуг, які є в даній ТРС (тобто в множині J), але повного набору послуг N немає в кожному окремому ТРО з номером і(). Така ситуація є цілком реалістичною і не потребує окремих обґрунтувань. В цьому випадку рекреант вимушений користуватись деякою підмножиною пунктів рекреації, які є вданій ТРС.

Якщо брата до уваги економічний критерій, то стратегічна поведінка рекреанта полягає в тому, щоб мінімізувати сумарну вартість рекреаційного процесу та вартість переміщення його з пункту М в ТРС та назад з ТРС в пункт М.

Враховуючи прийняті вище позначення, цю вартість (середньоочікувану) можна виразити так:

Математична модель, яка реалізує пошук оптимальної стратегії рекреанта, має вигляд:

Задача (45) - (51) є задачею булевого програмування. Обмеження (46) в цій задачі стверджує, що рекреант переміщується з пункту М в один з пунктів рекреації.

Аналогічно (47) - це обмеження: рекреант повертається в пункт М з одного з пунктів рекреації.

Зміст обмеження (48) наступний: для рекреанта кожна послуга j Î N задовольняється тільки в одному з пунктів рекреації.

Обмеження (49) (51) - це обмеження на дискретність шуканих змінних. Зауважимо також, що обмеження (46) - (48) можна замінити на обмеження - рівності. Інколи с зміст розглянути інші аналоги моделі (45) - (51).

Актуальним для окремого рекреанта є також раціональний (оптимальний) розподіл фінансових ресурсів (наприклад, грошей) на послуги, які можуть надаватись рекреанту в даному пункті рекреації (тобто ТРО).

Нехай

s - максимальний обсяг фінансових ресурсів, які рекреант може виділити на задоволення послуг рекреаційного процесу;

n - кількість послуг в даному рекреаційному пункті;

ci - вартість однієї послуги i-го виду ();

хi - шукане число послуг i-го виду, якими користується рекреант;

ki - корисність однієї тої послуги (це може бути деякий ваговий коефіцієнт, яким оцінюється значущість і-тої послуги або в більш загальному випадку означення деякої функції корисності рекреанта).

Тоді розумна поведінка рекреанта полягатиме в тому, щоб при заданих фінансових обмеженнях максимізувати сумарну корисність свого рекреаційного процесу.

Модель такої поведінки має вигляд:

Інколи обмеження на цілочисельність можна зняти (або частково зняти, коли допустима цілочисельність тільки окремих змінних).

Величини ki можна також замінити їх математичними сподіваннями і розглядати стохастичний аналог моделі (52) - (55).

Зауважимо, що можна побудувати багато інших моделей, які описують оптимальну поведінку окремого рекреанта, однак зупинятись на цьому в рамках даної праці ми не будемо.

 

Вивчення попиту на рекреацію

У системі економіко-математичних моделей туристично-рекреаційних процесів важливе місце належать моделям попиту на рекреацію. Наслідком багатьох наукових досліджень попиту на рекреацію стали різні підходи, напрями та моделі.

Так, наприклад, при прогнозуванні кількості потенційних рекреантів даної ТРС широко використовуються так звані гравітаційні моделі. Походження назви "гравітаційна модель" базується на припущенні: закони взаємодії між сукупностями людей є аналогічними до закону гравітаційного тяжіння.

Класичним прикладом моделі такого класу моделей ‘ наступна. Нехай

Кij - кількість рекреантів та j-ої тою ТРС, які прибули з пункту попиту на рекреацію;

nj - ємність (максимальна можлива вмістимість) j-тої ТРС;

mj - чисельність населення j-го пункту попиту;

rij - віддаль між і-тим пунктом попиту та j-тою ТРС.

Тоді

де k, m, n, r - деякі розрахункові коефіцієнти.

Наприклад, в [136] k=20,3; m=l,l 1; n=0,71; r=l,53.

Модель (56) досить проста, причому вона ефективно використовувалась для віддалей r від 100 до 150 миль.

Для інших віддалей вона виявилась малоефективною. Дослідники вважають, що формула (56) переоцінює число коротких рекреаційних поїздок і недооцінює число довгих, оскільки в ній не врахований фактор психологічної інерції людей [109]. Останній фактор був врахований в наступній моделі [120]:

де а, b - також деякі розрахункові коефіцієнти.

Інерція залежить в основному від величини а. При rij < a величина ln (rij/а) є від'ємною, що посилює негативну дію віддалі на попит. Якщо rij> а то ln (rij/а) > 0, що ослабляє вплив фактору відстані.

Відома  також  [117]  гравітаційна модель оцінки  потоків рекреантів для міжнародного туризму:

де

Кij - число туристів, які прибувають з країни і в країну j;

Pj - оцінка популярності країни з номерому j туристів;

Mi - чисельність населення країни і;

di - національний доход на душу населення країни i;

sij - величина, яка оцінює спільність або спорідненість країн іта j (наявність спільного кордону, спільна або споріднена мова та інш.);

rij - відстань між країнами i та j;

a,b,g,s - коефіцієнти еластичності відповідних змінних.

V моделі (58), як і в інших гравітаційних моделях параметри знаходяться різними методами, зокрема за допомогою проб і помилок, експертним методом і інш.

Зауважимо, що простота гравітаційних моделей є їх основною позитивною характеристикою. В зв'язку з цим такого типу моделі часто використовуються при вивченні соціально-економічних процесів.

Звичайно, діапазон методів вивчення попиту на рекреацію не обмежується тільки гравітаційним моделюванням. Він є значно ширшим.

Особливої уваги заслуговують кореляційно-регресійні методи та моделі, які є традиційно популярними в галузі математичного моделювання. При вивченні рекреаційних процесів є абсолютно природним прагнення побудувати регресійну модель залежності рекреаційного попиту від факторів, що формують його.

Враховуючи ту обставину, що кореляційно-регресійним методам та моделям присвячена обширна література, ми не будемо детальніше зупинятися на цьому питанні.

Цікавими як на теоретичному, так і практичному рівнях є ймовірні методи моделювання попиту на рекреацію. Наприклад, в [120] побудований біноміальний розподіл, який описує вплив відстані від населеного пункту (пункту попиту на рекреацію) до ТРС на кількість відвідувань. Ймовірність п відвідувань рекреаційної системи

де N - попит на рекреацію населеного пункту, розміщеного на відстані d від ТРС;

v - параметр (його зміст такий: якщо відстань d збільшиться на Dd, то ймовірність невідвідування ТРС одним рекреантом збільшиться на vDd).

У [135] ставилась також задача оцінки потенційного попиту N. Одна з отриманих оцінок мала вигляд:

Для вивчення та моделювання попиту на рекреаційні послуги, крім вказаних вище, можна запропонувати також багато інших методів та підходів (як відомих, так і нових).

Нижче опишемо запропонований одним із авторів загальний підхід до проблем вивчення попиту на рекреацію. Він базується на неокласичній теорії споживання [76] і пов'язаний з раціональним вибором споживачем-рекреантом рекреаційних послуг при заданих функції корисності та фінансово-бюджетному обмеженні.

Нехай величини S, xi, ci, () мають той самий зміст, що і в моделі (52) - (55). Узагальнимо дану модель. Для цього знімемо обмеження (55) і будемо вважати, що відома функція корисності споживача k (x1,...,хn). Тоді модель раціонального споживання рекреаційних послуг для окремого споживача-рекреанта матиме вигляд:

У моделі (60) - (62) ціни сi () та капітал (або доход) рекреанта протягом певного періоду часу вважалися сталими. Нехай ці величини є змінними, тобто

(С - множина або область зміни  ).

Зрозуміло, що c1, c2  0 та множина С складається тільки з невід'ємних векторів .

Тоді процес прийняття рішень для рекреанта ускладнюється, оскільки він повинен аналізувати сукупність задач (60) - (63).

Якщо функція корисності k (x1,…,xn) є двічі неперервно диференційованою та строго вгнутою (строго опуклою вверх), то при кожному фіксованому s Î [s1,s2] і  Î С задача (60) - (62) має єдиний розв'язок

Враховуючи обмеження (63), можна стверджувати, що оптимальний розв'язок задачі (60) - (62) є деякою функцією від параметрів  та S.

Функцію Р(,s) =(,s) називають функцією попиту споживача (рекреанта). Складність побудови такої функції залежить

від структури обмежень на параметри  та S.

Слід відзначити також, що в більш загальному випадку, коли функція корисності не є строго вгнутою, розв'язок задачі (60) - (62) є неоднозначним. Тоді може існувати не єдиний оптимальний (бажаний) набір рекреаційних послуг , а деяка множина X* таких наборів. В цьому випадку рекреант повинен мати деяку допоміжну множину критеріїв вибору рішення. Описаний вище метод визначення функції попиту можна використати при вивченні попиту на рекреацію як окремого рекреанта так і довільного пункту попиту на рекреаційні послуги.

 

Про імітаційне моделювання туристично-рекреаційних систем

Реальніекономічнісистеми, до яких належать, зокрема туристично-рекреаційні системи є досить складними. Вони поєднують в собі різноманітні виробничі та економічні комплекси, адміністративні, транспортні, торгові та інші організації. До того ж, всі ці об'єкти можуть бути розміщені в різних природних, еколого-економічних та соціальних середовищах. Взаємозв'язки (як економічні так і структурні та соціальні) між об'єктами, ендогенні та екзогенні впливи на систему, як правило, не вдається адекватно описати на мові математики, а якщо це стає можливим - то модель системи є надзвичайно складною і громіздкою. Дослідити таку модель формалізованими (наприклад, математичними) методами часто не вдається. Більше того, адекватна модель складної системи є багатокритеріальною і, як правило, інформаційно не забезпеченою. Це породжує нові складності. В зв'язку з цими та деякими іншими причинами для організації, функціонування та керування складними туристично-рекреаційними системами використовуються методи імітаційного моделювання, які базуються на проведенні машинних експериментів з моделями (як формалізованими так і неформалізованими) систем. Машинна імітація (як метод моделювання) включає наступні етапи [54]: 1) постановка задачі; 2) розробка моделі ТРС; 3) планування експерименту на ЕОМ; 4) проведення експерименту (машинна апробація моделі); 5) аналіз результатів імітації. Кількість проведених на ЕОМ експериментів завжди обмежена. Тоді за допомогою імітаційних експериментів бажано дослідити тільки найбільш репрезентативні допустимі варіанти. Після вибору таких варіантів процес прийняття рішень виходить за рамки імітаційних експериментів, оскільки в ньому використовуються різні методи і моделі, що створюють так звану імітаційну систему. Під імітаційною системою розуміють комплекс засобів аналізу складних проблем прийняття рішень, що є продуктом поєднання: 1) математичного (формалізованого) дослідження; 2) отриманих на ПЕОМ результатів імітаційних експериментів; 3) неформалізованого (або інтуїтивного) дослідження, яке здійснює особа яка приймає рішення (ОПР). Отже, імітаційна система акумулює в собі системний підхід до вивчення і моделювання економічних систем. Такий підхід є особливо актуальним при організації та розумному (оптимальному та раціональному) керуванню сучасними туристично-рекреаційними комплексами. Не зупиняючись тут на конкретних імітаційних моделях та експериментах, зауважимо, що більшість з описаних вище моделей можуть бути ускладнені (або спрощені) і використані в імітаційних експериментах. Акцентуючи на цьому, ми закінчимо описання даного розділу книги.