4.1.2. Вплив Я. Лукасевича на розвиток математичної логіки у Львівсько-Варшавській школі

Не дивлячись на те, що систематичний виклад логіки в Польщі вперше відбувся в лекціях К.Твардовського, які повторювалися періодично кожні 4 роки, він відбувався у філософському обрамленні і роль математики спеціально не зазначалася. Сприйняттю алгебри логіки Буля або Шредера заважала інтенціональна складова теорії суджень Твардовського, яка занурювала весь виклад у філософський контекст, а точніше - онтологічний; в такій манері викладання логіки об'єктом вивчення залишався іманентний предмет, а не сам метод міркування, який є об'єктом теорії дедукції.

Першим учнем Твардовського, хто зацікавився логікою професійно, був Лукасевич. З 1907 р. він почав читати у Львові лекції з логіки. Важливою подією на шляху розвитку логіки в Польщі виявилася монографія Лукасевича про принцип суперечності у Аристотеля (1910). Польський дослідник Львівсько-Варшавської школи Я.Воленський [1985] виділяє трояку роль цієї книжки. По-перше, вона містила глибокий аналіз оригінальних текстів Аристотеля, що було як би ознакою подальших революційних праць Лукасевича з історії логіки; по-друге, в ній приводилися аргументи, які вказували на необхідність доказу принципу суперечності і це був певний крок у напрямі багатозначних логік; по-третє, книжка Лукасевича містила доповнення викладу алгебри логіки, а тим самим монографія стала по суті першим підручником математичної логіки в Польщі. Про свої враження від прочитання цієї книжки Леснєвський згадував: "В 1911 р. мені потрапила в руки книга п. Лукасевича про принцип суперечності у Аристотеля. З цієї книги, яка свого часу значно вплинула на інтелектуальний розвиток ряду польських "філософів" і "філософствуючих учених" мого покоління, а особисто для мене стала одкровенням з різних точок зору, я вперше дізнався про існування на світі "символічної логіки" п. Бертрана Рассела та його "антиномії", яка стосується "класу класів, що не є власними елементами". ([1927], S.169) Поява книги послужила зростанню зацікавленості молодих польських філософів математичною логікою. Число логіків в оточенні Твардовського і Лукасевича почало швидко збільшуватися і в ньому опинилися Айдукевич, Чежовський, Котарбінський, Качоровський, Леснєвський, Смолька і Завірський. На сторінках "Пшегльонда філозофічного" і "Руху філозофічного" згадані філософи" виступили з численними працями і відкрили дискусії з питань, що носять логічну спрямованість. Айдукевич [1913] і Лукасевич [1913] писали про відношення слідування, Лукасевич [1913a] - про основи числення правдоподібності, Завірський - про модальні речення, Смолька [1913], Чежовський [1913], [1918] і Леснєвський [1914], [1916] - про логічні парадокси. Відлуння монографії Лукасевича [1910] можна знайти в дискусіях Котарбінського [1913а] і Леснєвського [1911], [1912], [1913], [1913а] з питань існування, майбутніх подій, істинності, принципу виключеного третього і принципу суперечності. Помітний вплив на розвиток логіки і методології в Польщі мали роботи Лукасевича про індукцію [1903], [1906а], [1909], а особливо його стаття "Про творчість в науці [1912], що містила популярну в Польщі класифікацію міркувань і яка в дещо вдосконаленому вигляді під назвою "Про науку" була поміщена в самовчителі [1915] і неодноразово перевидавалася.[1] Всім цим починанням "очистила" дорогу стаття "Логіка і психологія" [1907], ясна і виразна критика психологізму якої була позитивно сприйнята в школі. Ця критика значною мірою сприяла розвитку математичної логіки в Польщі, оскільки психологізм, популярний на рубежі XIX і XX століть, був бар'єром для розвитку математичної логіки.

Новий імпульс розповсюдженню математичної логіки додав переїзд Лукасевича до Варшави, де він посів кафедру на природничо-математичному відділенні університету; пізніше до нього приєднався Леснєвський, котрий очолив кафедру філософії математики.[2] Поява обох логіків з філософським родоводом в середовищі математиків помітно вплинула на останніх і була сприйнята доброзичливо. Шляхи ж самих логіків помітно відрізнялися: якщо Лукасевич прийшов до математичної логіки в контексті успіху своїх лекцій серед математиків, то навернення Леснєвського відбувалося на самоті, шляхом індивідуальних роздумів; якщо Лукасевич в своїй роботі не виходив за межі визнаної у той час парадигми логіки, то Леснєвський прагнув створити власну парадигму. Цікавим є наступне порівняння обох логіків, зроблене їх учнем і співробітником Собоцинським ([1957], S.42/43): "Між Лукасевичем і Леснєвським, двома великими фігурами варшавської логічної школи [...] є істотна різниця. Леснєвський також був філософом за освітою, і також відсторонився від філософії [...]. Проте на противагу Лукасевичу він вважав, що можна знайти "справжню систему" логіки і математики. Його систематизація основ математики не була виключно постулативною; він прагнув дати в дедуктивній формі найбільш загальні закони побудови дійсності. З цієї причини він мало використовував математичні і логічні теорії, які - навіть тоді, коли вони були несуперечливі - він не вважав відповідними для фундаментальних, структурних законів дійсності. З цієї ж причини він концентрував свої дослідження на певній системі, яку сам і побудував, і на її внутрішніх проблемах, бо був упевнений, що ця система єдина і справжня. Таким чином, хоча в певному значенні Леснєвський ніколи не звертався до філософії, він може бути визнаний філософом логіки, одним з найвеличніших в цій малій групі [...]. У Лукасевича таких турбот не було. Він не пробував будувати остаточну систему основ дедуктивних наук. Його метою було [...] надання багатьом областям нашого мислення точних і елегантних структур [...]. Він цікавився перш за все проблемами дедукції, її досконалості і аксіоматизації [...], вважаючи, що варто досліджувати кожну область, в якій може бути використана (значимо, чи ні) дедукція".[3]

Перший виклад числення речень в Польщі також належить Лукасевичу. В роботі "Двозначна логіка" [1920b] числення представлено як щось відмінне від алгебри логіки і абсолютно виразно пов'язано з парадигмою математичної логіки, яка вже на той час була майже загально визнаною. Система, що розглядалася Лукасевичем, сформульована в мові, яка містить пропозиціональні змінні (p,q,r...), константи 0 (фальш) і 1 (істина), логічні зв'язки: ® (імплікація), ù (заперечення), а також знаки: П (універсальний квантор), U (ствердження) і N (відкидання). Аксіоми мають наступний вигляд:

U: Пp( 0 ® p);

U: Пp( p ® 1);

N: 1 ® 0.

Лукасевич вводить чотири дефініції:

дефініція заперечення - U: Пp(ù p  =  p ® 0);

дефініція диз'юнкції - U: Пp,q (pÚ q  =  (p ® q) ® q);

дефініція кон'юнкції - U: Пp,q ((pÙq)  =  ù (ù pÚù q));

дефініція еквівалентності - U: Пp,q (p « q  =  (p ® q) Ù (q ® p)).

Твердження отримуються з аксіом і дефініцій за допомогою наступних правил виводу:

1. Кожний вираз належить численню, якщо він виникає з твердження, яке містить змінні і квантор, за допомогою підстановки 0 або 1 на місце змінних.

2. Кожний вираз, еквівалентний деякому виразу, що належить системі, також належить численню; кожний вираз можна відкинути, якщо він еквівалентний виразу, який відкидається.

3. Кожний вираз належить численню, якщо він в результаті підстановки 1 замість виразу числення, або 0 замість виразу, що не належить численню, переходить в твердження; можна відкинути кожний вираз, який в результаті такої підстановки переходить у відкинутий вираз.

4. Кожний вираз, що містить змінні і квантори, в який замість змінних підставляються 1 і 0, належить численню, якщо в результаті такої підстановки отримаються виключно твердження системи.

Ці правила виводу Лукасевич вважав очевидними, виходячи з властивостей введених символів, і вважав їх обґрунтування достатнім. Властивості логічних функторів експлікувались за допомогою записів, еквівалентних таблицям істинності; приводилася також таблична процедура перевірки істинності тверджень. Далі Лукасевич з аксіом і дефініцій виводить 40 тверджень числення висловів.

Табличний метод перевірки істинності речень не є результатом оригінальної ідеї Лукасевича і був відомий раніше, але в його роботі мало не вперше цей спосіб перевірки істинності обговорений систематично. Необхідно відзначити трактування значень істинності у дусі Фреге як денотатів речень і впровадження поруч з правилами ствердження також правил відкидання, які пізніше будуть використані при формалізації логіки Аристотеля і модальної логіки. Дефініція диз'юнкції сформульована таким чином, що може бути використана і в трьохзначній логіці. Таким чином, в обговорюваній роботі містяться ідеї, які пізніше будуть розвинуті в працях варшавської школи логіки.

Та все ж логічна система в статті [1920b] все ще вельми недосконала. Перш за все Лукасевич не розрізняє теорію і метатеорію, оскільки функтор імплікації відтворюється ним за допомогою висловів "якщо, то" і "випливає", а цей останній належить метамові; подібне ж відбувається і з символами ствердження та відкидання. Склад і формулювання правил виводу ускладнені і це є наслідком присутності у засновках кванторів, які Лукасевич ввів керуючись ідеями Леснєвського, але вони не грають в системі з [1920b] такої ролі, як в Прототетиці і призводять до зайвих труднощів. У результаті ця система є сумішшю різних ідей і намірів, деякі з яких пізніше були розвинуті, а інші - відкинуті.

Починаючи з 1920 р. викладання логіки на природничо-математичному відділенні Варшавського університету розширилося: були введені спецкурси, семінари та інші форми навчання. Зацікавленість студентів-математиків логікою поступово зростає і багато хто вибирає її своєю спеціалізацією. В кінці 20-х років закінчують навчання і приступають до наукової роботи в ділянці логіки Тарський, Вайсберг, Лінденбаум, Яськовський, Пресбургер і Собоцинський (останній був філософом за освітою), а в тридцяті роки до них приєднуються Мостовський, Слупецкий і Леєвський. Семінари Леснєвського і Лукасевича стають науковими колективами, які інтенсивно працюють над проблемами логіки. Все помітніше стає ведуча роль Тарського, котрий, написавши докторську дисертацію під керівництвом Леснєвського, потім перейшов до співпраці з Лукасевичем.[4]Вплив обох корифеїв школи, котрі сповідували різні парадигми філософії мови (філософія імені - Леснєвським і філософія речення - Лукасевичем), позначився зі всією силою в епохальному творінні Тарського - формулюванні критерію істинності.

Поза сумнівом, вирішальним чинником розвитку логіки у Варшаві було знаходження Леснєвського і Лукасевича в середовищі математиків, котрі, про що вже згадувалося, приязно зустріли львівських відступників філософії. В середовищі варшавських математиків склалася особливо сприятлива атмосфера для розвитку логіки і в цьому середовищі Лукасевич і Леснєвський вважалися нормальними партнерами наукової діяльності. Вони не вважали себе математиками, не хотіли і вже не могли бути філософами і в цій ситуації були приречені стати логіками. Логіка трактувалась ними як наука, тісно пов'язана з математикою, але і автономна.[5]

Постулювавши автономність логіки, викликану емансипацією не тільки від математики, але в першу чергу від філософії, Лукасевич і Леснєвський, незважаючи на відступницькі завірення, все ж таки зберегли зв'язок з філософією в тому сенсі, що прагнули зрозуміти смисл тверджень логіки та їх інтуїтивну мотивацію; розрив з філософією торкався єдино способу філософських спекуляцій.[6]

Інше пояснення феномена школи, яке доповнює вищенаведені міркування, хоча і має психологічний характер, все ж таки, як здається, повинно бути висловлене. Психологічні мотиви колишніх львівських філософів і варшавських математиків співпадали, що і створило той клімат, про який сказано вище. А саме, відродження незалежної Польщі в патріотично налаштованих умах і душах викликало порив самоутвердження, який підкріплювався визнанням зі сторони. З цією метою варшавськими математиками були свідомо вибрані ті ділянки цієї дисципліни, в яких, якщо не завоювати визнання було легшим, то, принаймні, звернути на себе увагу; з цією метою була вибрана топологія і теорія множин. Львівські математики на чолі з Х.Штейнгаузом і Ст.Банахом таких турбот не знали і до тісної співпраці між ними і філософами справа не дійшла, хоча спроба повторити варшавський ефект у Львові і була зроблена в 1930 р., коли відкрилася кафедра математичної логіки, очолена Л.Хвістеком, а не Тарським, котрий також претендував на неї. Працюючи в нових областях математики варшавські учені потребували підтримки, а таку (не тільки психологічно) надавала логіка, контролюючи кожний крок на незнайомім шляху. З другого боку, для логіків, котрі залишили філософські спекуляції, пов'язані не в останню чергу з питаннями існування, математика надавала структури, існування об'єктів в яких було самодостатнім. Коротко кажучи, варшавські математики і логіки потребували один одного і зуміли перетворити психологічні передумови на ту область людських знань, яка отримала пізніше назву метаматематики.

Продовжуючи наукознавчі рефлексії про розвиток варшавської логічної школі важко виділити Лукасевича як самотнього лідера, але в теорії дедукції він був поза сумнівом зачинателем і головною дійовою особою. Акцент на дедукції як головному методі наукової діяльності, а також автономність логіки, або краще сказати, її незалежність від математики і філософії привели до того, що гасло "логіка для логіки" стало загальноприйнятим в школі. Це гасло виражає також і істотні властивості теорії дедукції, наприклад, замкненість її процесів щодо результатів, тобто формул. В школі ставилися різноманітні рекорди, наприклад, пропонувалося відшукати різні найкоротші аксіоматики числення висловів. Подібні "задачі" в поєднанні з трирічним курсом логіки для студентів-математиків привели до того, що багато хто з них починав спеціалізуватися в логіці. Атмосферу, яка панувала у варшавському середовищі логіків, добре передає вступ до широко відомої статті Лукасевича і Тарського "Дослідження числення висловів": "Останніми роками у Варшаві проводилися дослідження, що відносяться до тієї частини метаматематики, або краще - металогіки, областю досліджень якої є найпростіша дедуктивна дисципліна, а саме — т.зв. числення речень. Ці дослідження ініціював Лукасевич; перші результати належать також йому і Тарському. На семінарі математичної логіки, що проводиться з 1926 р. під керівництвом Лукасевича у Варшавському університеті, отримано і обговорено більшість результатів Лінденбаума, Собоцинського і Вайсберга. Систематизацію всіх цих результатів і уточнення понять, що в них використовуються, провів Тарський". ([1930], S.129) А в Передмові до своїх "Елементів математичної логіки" Лукасевич писав: "Мабуть, найбільш я зобов'язаний тій науковій атмосфері, яка склалася в області математичної логіки у Варшавському університеті. В дискусіях з моїми колегами, головним чином з п. проф. Ст.Леснєвським і п. доц. др. А.Тарським, а часто з моїми та їх учнями, я з'ясував для себе не одне поняття, привласнив не один спосіб виражатися і не про один дізнався новий результат, про які сьогодні вже не зміг би сказати кому належить їх авторство." ([1929], S.9)

І нарешті, успіхи в логіці варшавської частини цієї філософської школи пояснюються багато в чому організаційними чинниками, які "покликав до життя", знову ж таки головним чином, Лукасевич. Все ж таки слід відмітити, що не стільки організаційні форми, скільки позиція львівських учнів Твардовського, котрі повторили методологічні установки свого вчителя, сприяла виникненню таких форм. Це зауваження перш за все стосується Лукасевича і Котарбінського. Так, вже у Львові існувала логічна секція Польського філософського товариства. Така ж секція існувала і у Варшавському філософському інституті, а пізніше - в Польському філософському товаристві у Варшаві. Перед війною було розпочато видання I тому "Collectanea Logica" - спеціалізованого журналу, присвяченого логіці, який був органом Польського логічного товариства; весь тираж цього тому був знищений під час бомбардування Варшави. Епізодично виходили роботи варшавських логіків у виданні "Studia Logica", яке можна було б назвати препрінтним і яке редагувалося Лукасевичем. Поза сумнівом, поява інституційних форм є заслугою Лукасевича, котрий вважав, що логіка, яка розуміється автономно, як наукова дисципліна вимагає окремих організацій і окремих видань.