4.2.1. Багатозначні логіки

Добре відомо, некласична логіка - це необов'язково логіка двох істиннісних значень - істини і фальші; некласичність визначається семантикою логічних зв'язок, або, якщо останнє поняття розуміти ширше - семантикою логічних операторів. Зовнішнім виразом сказаного якраз і є бездужковий запис. З цієї причини в даному параграфі будуть обговорені логічні числення, які залічуються до некласичних також і традиційно: багатозначні логіки, модальні логіки, інтуїціоністське числення висловів, а також згадана дискусійна логіка Яськовського. Появу цих систем у Львівсько-Варшавській школі також важко відділити від імені Лукасевича. Раніше вже висловлювалася думка, яка відзначала роль філософа Лукасевича в логіці і яка зводилося до того, що він був в логіці метафізиком. В цьому зв'язку згадувалась робота "Про індукцію як інверсію дедукції", яка разом з іншими ранніми роботами при розгляді витоків багатозначної логіки, як правило, не враховувалася. Звикло вважається, що перша згадка про багатозначну логіку була зроблена Лукасевичем 7 березня 1918 р. в прощальній лекції перед відходом на роботу до Міністерства віросповідань і публічної освіти. У цього повідомлення є передісторія, що відображає еволюцію філософа Лукасевича у напрямку до логіки, початок якої був покладений низкою робіт, що сформували парадигму філософії речення цього дослідника. В короткому огляді генезису поглядів "раннього" Лукасевича ми торкнемося деяких з них.

Існувала та і існує дотепер тенденція пов'язувати індукцію з імовірнісним підходом або, як його називали раніше, особливо логіки, з правдоподібністю. Спочатку Лукасевич був прихильником т.зв. інверсної теорії дедукції, згідно якої індукція є міркуванням, в якому відшукується логічна підстава для одиничних речень досвіду. Зв'язок індуктивних і дедуктивних міркувань він узагальнив, слідуючи Твардовському, в понятті міркування як процесу. Лукасевич [1912], [1915] розрізняє підставу і наслідок, які не відповідають парі засновок-висновок, і у зв'язку з цим вводить напрям міркування. Якщо засновок є підставою, а висновок - наслідком, то йдеться про дедуктивне міркування, а якщо засновок є наслідком, а висновок - підставою, то йдеться про міркування-редукцію, або кажучи інакше, дедукція є знаходженням наслідку по даній підставі, а редукція - підстави для даного наслідку. Дедукція є надійним, безпомилковим міркуванням, тоді як редукція - всього лише правдоподібним. Але в [1909] Лукасевич, аналізуючи формулу Лапласа p = n+1/n+2, по якій визначається правдоподібність того, що n+1 подія посідає властивість, яка виявилася в n подіях, формулює аргумент, який поставив під сумнів осмисленість приписування індуктивним висновкам міри правдоподібності. Формула Лапласа стосується одиничної події, тоді як в індуктивному висновку йдеться про правдоподібність генералізації. Можна скористатися т.зв. узагальненою формулою Лапласа p = n+1/n+m+1, де m - це число подій, охоплених генералізацією, а n - базис індукції (число спостережуваних подій). Оскільки m набагато більше n, то p не може бути більше 1/2, а якщо m прямує до нескінченності, то p - до нуля.[1] Тому Лукасевич в роботі "Логічні основи числення правдоподібності" [1913] намагається з'ясувати, чому поняття правдоподібності не стосується речень (суджень). Він вважає, що міру правдоподібності можна приписувати пропозиціональним функціям у вигляді відношення числа аргументів, для яких вона істинна, до скінченого числа всіх значень змінної. Речення, тобто формули без вільних змінних бувають або істинними, або хибними і поняття правдоподібності взагалі їх не стосується.

Таким чином, якщо істиннісну оцінку вважати ім'ям речення в непрямому вживанні, то, очевидно, ототожнити її з ситуацією неможливо. Тому Лукасевич залишає індукцію як опосередковуючий метод, що передує дедукції, і звертається безпосередньо до ревізії міркування як поняття, яке охоплює і індукцію, і дедукцію. Ця ревізія полягала у висловлювані сумніву щодо універсальності двох найважливіших законів: принципу виключеного третього і принципу суперечності. Якщо другому з цих законів присвячена монографія "Про принцип суперечності у Аристотеля" [1910], то про перший можна знайти згадку в короткому звіті "Про принцип виключеного середнього" [1910a]. Вихідна позиція метафізика Лукасевича в ревізії обох цих законів одна. В звіті він пише: "[...] два найважливіші онтологічні принципи, відомі як принцип суперечності і принцип виключеного середнього, істинними самі по собі не є, але вимагають доказу; однак оскільки довести їх не вдається, особливо в застосуванні до реальних предметів, то їх слід вважати тільки припущеннями. Тому необхідність визнання цих принципів не має логічного джерела, але виникає з певних практичних потреб." (S.126)

В ревізії міркування як процесу, зокрема, процесу приписування властивостей предметам саме останні стали для Лукасевича на якийсь час метою аналізу, і тут можна знайти виразний вплив А.Мейнонга, в семінарах якого в 1909 р. в Граці брав участь Лукасевич. У висновках згаданого звіту він ставить під сумнів, "чи підпадають під принцип виключеного середнього загальні предмети, такі як трикутник взагалі, людина взагалі і т.д." "Але якщо йдеться про реальні предмети, - продовжує Лукасевич - принцип виключеного середнього, здається, залишається в тісному зв'язку з постулатом повсюдної детермінації явищ, не тільки теперішніх і минулих, але й майбутніх". ([1910a], S.126-127)

Обидва згадані принципи для Лукасевича є нічим іншим, як способом міркування, процесом, правильність якого не може прийматися "на віру". У "Принципі суперечності" він не приступає до аналізу цього закону з апріорістських позицій, вважаючи, що "все ж таки погано, коли у філософії існують недоторкані принципи; гірше, якщо ці принципи не обґрунтовані; ще гірше, якщо ці недоторкані і необґрунтовані принципи колись були предметом запеклої суперечки. Як же вийшло, що спірний принцип, якого ніхто не уміє довести, вважається настільки правильним, що і торкнутися його навіть неможливо? Де ж поділася наукова критика, якою ми так пишаємось в епоху критицизму?" ([1910], S.6) Тому Лукасевич вважає для себе неможливим аксіоматично прийняти принцип суперечності, особливо після того, як той став предметом спору, який він лише згадує, не приводячи втім аргументів "за і проти". З приводу Гегеля, котрий також є противником принципу суперечності, а значить в якійсь мірі також ревізуючий цей принцип, Лукасевич пише: "Гегель [...] створив "метафізичну логіку", яка не ґрунтується на принципі суперечності. Але ця спроба була занадто радикальною, нечіткою і неясною, щоб бути зрозумілою і прийнятою". (S.5) І оскільки цей принцип виявився необґрунтованим, Лукасевич приступає до його аналізу.

Робота Лукасевича складається з двох частин: історичної і систематичної. В першій він розрізняє три аспекти принципу суперечності: онтологічний, логічний і психологічний.

Онтологічний принцип суперечності: жоден предмет не може одночасно посідати і не посідати одну і ту ж властивість.

Логічний принцип суперечності: два судження, в одному з яких предмету приписується деяка властивість, а в іншому ця властивість заперечується, не можуть бути одночасно істинними.

Психологічний принцип суперечності: два переконання, яким відповідають два суперечливих судження, не можуть існувати в одній свідомості.

Потім Лукасевич показує, що хоча онтологічне і логічне формулювання принципу не рівнозначні, але для Аристотеля вони тотожні. Лукасевич погоджується з цим поглядом Стагиріта і надалі користується обома формулюваннями, взаємно замінюючи їх. Що ж до психологічного формулювання, то його Лукасевич вважає емпіричним принципом, а тому доказ закону суперечності на підставі апріорних суджень, до яких відносяться також онтологічне і логічне формулювання, неможливий. Критика психологічного принципу суперечності як логічного закону є першим аргументом Лукасевича, котрий піддав сумніву правильність переконань Аристотеля щодо цього принципу. Другим аргументом, який викликав сумнів Лукасевича, служить теза, що можна знайти більш очевидний і простий принцип, ніж принцип суперечності і таким польський логік вважає принцип тотожності. Разом з тим - і це головний докір Аристотелю - Стагиріт не є послідовним, оскільки, з одного боку, він вважає, що принцип суперечності не може бути доказаний, а з іншого - формулює ряд його доказів. На думку Лукасевича всі докази (головним чином апагогічні) не вірні з формальної точки зору. Лукасевич вважає, що непослідовність Аристотеля можна пояснити психологічними мотивами: "Здається, ніхто не відчував сильніше необхідність доказу принципу суперечності, ніж сам Аристотель; однак він не умів і не міг погодитися з цим почуттям переконання, що принцип суперечності як принцип остаточний не може бути доведений. Тим самим він опинився в незручному положенні: заплутався в суперечностях в самому розгляді принципу суперечності". ([1910], S.51-52)

Інші заперечення Лукасевича можуть бути зведені до наступних положень: а) принцип суперечності як закон логіки не є ані достатнім, ані необхідним, бо можна міркувати дедуктивно або індуктивно і робити це несуперечливо; б) принцип суперечності не вдається вивести з дефініції істини або хибності, як не вдається його вивести ані з принципу тотожності, ані з принципу подвійного заперечення; в) можна подати формальний доказ принципу суперечності, використовуючи визначення предмету як чогось, що не володіє суперечливими властивостями, однак цей доказ буде формальним, а не предметним. Оскільки для доказу принципу суперечності потрібно заздалегідь показати, що жоден предмет не є суперечливим, в чому Лукасевич вельми сумнівається, то свою монографію він завершує словами: "Оскільки принцип суперечності предметно не вдається довести, не дивлячись на те, що такий доказ необхідний, то він не має логічної цінності. Натомість він має важливу практично-етичну цінність, будучи єдиним захистом від помилок і брехні. Тому ми повинні його прийняти." ([1910], S.152)

Таким чином виявляється, що для Лукасевича логічна підстава не є єдиним і навіть найважливішим мотивом в рішенні прийняття тих або інших суджень: властивість істинності судження переводиться в етичну площину, як потім виявиться, єдино з метою звільнитися від формальних обмежень, а тим самим і від самого принципу суперечності. В даному випадку етичні мотиви зіграли роль метатеорії.[2]

І нарешті, слід відповісти на питання: яку роль зіграла монографія "Про принцип суперечності у Аристотеля" в процесі формування ідеї багатозначної логіки? На перший погляд вплив цієї роботи може показатися мінімальним, оскільки про неї Лукасевич майже не згадує в своїй подальшій творчості[3]. Одну з таких згадок можна знайти в статті "Про творчість в науці", де в примітці Лукасевич висловлює невпевненість в застосуванні цього принципу до реальних предметів. Більш істотна згадка міститься в прощальній промові від 7 березня 1918 р. В ній Лукасевич вперше публічно без подробиць повідомив про сконструйовану ним систему трьохзначної логіки, а при нагоді пригадав, що вже у "Принципі суперечності" намагався показати, що цей принцип не очевидний, і що в цей час (тобто близько 1910 р.) він пробував сформулювати неаристотелівську логіку, але спроби ці не увінчалися успіхом. Згадки про цю книжку немає навіть в дослідженні, присвяченому силогістиці Аристотеля, хоча може видаватись, що обидві ці роботи служать як би початком і закінченням його творчості в області історії філософії і логіки. Можна припустити, що Лукасевич зайняв позицію, схожу з  відступницькою позицією Леснєвського, керуючись аналогічними мотивами, а саме, він вважав, що робота "Про принцип суперечності у Аристотеля" є метафізичною, надмірно обтяжуючою логіку онтологією. Адже в "логічному періоді" Лукасевич поділяв абсолютно інші погляди на відношення логіки до онтології. Коли він сформулював систему багатозначної логіки, то вважав, що досвід може і повинен вирішити, яка логіка є формальною моделлю світу. Ще пізніше, в період II світової війни, Лукасевич схилявся до погляду, що вибір логіки є справою конвенції. Таким чином, очевидного мотиву повертатися до своєї першої книги у Лукасевича не було. Більш того, пізніше виявилося, що з огляду багатозначної логіки історично більш цікавими були погляди Аристотеля на принцип виключеного третього, ніж на принцип суперечності. Та все ж слід визнати, що ревізіоністські інтенції Лукасевича мало залежали від об'єкту дослідження і були спрямовані на метод міркування. Логічні закони були єдино приводом для виявлення меж упевненості логічних міркувань. Лукасевич пише: "Повинен наступити момент, коли логіки почнуть розглядати взаємні стосунки цих принципів (тобто принципів логіки, у тому числі принципу суперечності.- Б.Д.). [...] Лише тоді виявиться, яке місце серед логічних законів займає принцип суперечності, в чому полягає його правильність і цінність, як далеко протягується дієвість його застосування; тоді виявиться, чи дійсно цей принцип найважливіший за всі і чи є він наріжним каменем всієї нашої логіки, або ж його можна перетворити, а навіть опустити і створити систему неаристотелівської логіки так, як виникла за допомогою перетворення аксіоми про паралельні система неевклідової геометрії." (S.7-8)

Зіставляючи тексти прощальної промови 1918 р. і наведену цитату з "Принципу суперечності" можна однозначно констатувати, що в період 1910-1918 рр. Лукасевич пробував сконструювати неаристотелівську логіку і своє рішення пов'язував з ревізією принципу суперечності. І хоча у "Принципі суперечності" XVI розділ має назву "Неаристотелівська логіка", він не містить нічого, окрім методологічних міркувань про значущість цього принципу. Таким чином, упевнившись в логічній неможливості довести принцип суперечності і в значущості його етичного і практичного аргументування, Лукасевич як би повертається до згаданому вище звіту "Про принцип виключеного середнього", а по суті повертається до метафізичних підстав процесу міркування - до питання про необхідність логічних законів. Щоправда, цю необхідність він побачив в онтології, що і дозволило йому закон виключеного середнього вважати не логічним законом, а металогічним. Виявилося, що неаристотелівська логіка вимагає ревізії принципу двозначності: кожне речення є або істинним, або хибним. Перегляд цього принципу Лукасевич зробив у відомій роботі "Про детермінізм", яка є його ректорською промовою в 1922/23 учбовому році. Він пише: "Саме тому цей принцип і не може бути доведений, що він лежить в основах логіки. В нього можна тільки повірити, а повірить в нього той, кому він здасться очевидним. Тоді я можу цей принцип не визнавати і прийняти, що разом з істинністю і хибністю існують інші логічні оцінки, принаймні ще одна, третя логічна оцінка". ([1922], S.125) Коментуючи вислови Аристотеля про майбутні випадкові події (відома проблема морського бою) Лукасевич приходить до висновку, що Стагиріт сумнівався в універсальності принципу виключеного середнього, тоді як рішучим прихильником двозначності були стоїки на чолі з Хрісиппом. Тому Лукасевич називає нову, трьохзначну логіку не неаристотелівською, а нехрісипповою.

Але перш ніж торкнутися цієї славетної роботи відзначимо резонанс у філософському середовищі, викликаний монографією "Про принцип суперечності у Аристотеля". Просто кажучи, на сторінках журналу "Пшегльонд філозофічний" виникла дискусія. Так, Леснєвський [1912] приєднався до погляду, що принцип суперечності вимагає доказу і запропонував доведення онтологічного характеру. У Котарбінського [1913a], в свою чергу, сумнів викликав принцип виключеного третього і він запропонував, що разом з реченнями хибними і істинними можуть існувати невизначені речення, тобто такі, які сьогодні не істинні, і не хибні, наприклад, речення "завтра я піду гуляти".[4] Невизначені речення пов'язані з фактами, створюваними в майбутньому людською діяльністю, а їх істинність вічна, але не одвічна. Звідси, на думку Котарбінського, жодне судження не може бути одночасно істинним і хибним (принцип суперечності). І разом з тим неможливо, щоб деяке судження не було істинним, а його заперечення було хибним, і якщо дане судження не було хибним, то його заперечення було істинним, оскільки значимий закон: для кожного судження p, p істинне, або p неістинне, або p хибне, або p не хибне; на думку Котарбінського останнє твердження є послабленням закону виключеного середнього.[5] Леснєвський [1913a] наводив аргументи на захист тези, що кожна істина не тільки вічна, але і одвічна, а в [1913] він ставив під сумнів закон виключеного середнього. На думку Леснєвського існують пари речень, які будучи взаємними запереченнями, є хибними, наприклад, "квадратне коло є коло" і "неправда, що квадратне коло є коло". Але Леснєвський, всупереч Котарбінському, захищає принцип двозначності.[6] До проблем, піднятих в "Принципі суперечності у Аристотеля" Лукасевич повернувся тільки в 1918 р. в згадуваній вище промові і в двох коротких рефератах "Про поняття можливості" [1920] і "Про трьохзначну логіку" [1920a].

Таким чином, в двадцяті роки принцип двозначності в роздумах Лукасевича зайняв місце принципу суперечності. Обидва ці закони не можуть бути доведені і тому одержують статус принципів, але на відміну від принципу двозначності принцип виключеного третього не вимагає захисту у вигляді аргументів практичного і етичного характеру, оскільки виявилося, що впровадження до розгляду більше двох істиннісних оцінок дозволяє послідовно будувати логічну систему. Але найбільш значуща відмінність цих принципів в [1910] і подальших роботах Лукасевича полягала на тому, що принцип суперечності трактувався як звичайний логічний закон, а принцип двозначності - як закон металогічний. Тому виявилося, що конструкція нехрісиппової логіки залежить не стільки від набору аксіом, скільки від рішення метатеоретичних питань, бо коли Лукасевич писав "Принцип суперечності", він не розрізняв логіку і металогіку. Сумніву піддавався логічний закон (принцип суперечності) і немає нічого дивного в тому, що він отримав в результаті фрагмент класичної логіки, а не нову, неаристотелівську логіку.

Значення принципу двозначності було пізніше з'ясоване в дослідженнях Лукасевича, Леснєвського і Тарського. В звичайному численні висловів принцип двозначності сформулювати не вдається. Але в більш багатих логічних системах, наприклад, в Прототетиці Леснєвського, або в численні висловів із змінними функторами принцип двозначності є теоремою. Якщо в таких системах прийнято стандартне визначення кон'юнкції, диз'юнкції і заперечення, то наслідком принципу двозначності будуть закони суперечності і виключеного середнього. Наприклад, якщо не приймати того, що заперечення істинного речення хибне, а заперечення хибного речення істинне, то з принципом двозначності узгоджується речення "два речення, що взаємно заперечують одне друге, можуть бути одночасно хибними"; це речення узгоджується з принципом двозначності доти, поки не буде прийнято, що кон'юнкція двох хибних висловів - хибна.[7]

Повертаючись до "семантики" трьохзначної логіки, тобто до проблеми детермінізму відзначимо, що Лукасевич вважав, ніби з принципу двозначності випливає принцип детермінізму, але не навпаки, і подібне ж співвідношення має місце між принципом трьохзначності і принципом індетермінізму, причому під індетермінізмом Лукасевич розумів погляд, згідно якому в майбутньому відносно моменту t можуть виникнути події, не вирішені наперед у момент t. Вирішити ж наперед значення самої "неаристотелівської логіки" Лукасевич не наважується, констатуючи єдино значення теоретичне, тобто як вдалу ревізію теоретичного методу міркування. А оскільки не було з'ясовано семантику такої логіки, то і практичне її значення залишається не вияснене, але для Лукасевича воно має безперечну цінність. Він пише: "Чи буде і яке практичне значення мати нова система логіки - це з'ясується лише тоді, коли в світлі нових логічних законів будуть проведені докладні дослідження логічних явищ, що мають особливе місце в дедуктивних науках, і коли можна буде порівняти з досвідом наслідки індетерміністського погляду на світ, який є метафізичною підставою нової логіки". ([1920], S.131)

В 1922 р. Лукасевич узагальнив трьохзначне числення висловів до логіки, яка має довільне скінчене число істиннісних оцінок. Значення імплікації і заперечення визначалося в ньому наступними співвідношеннями: Cpq = 1 для p£q, Cpq = 1-p+q для p>q, Np = 1 — p, де 0<p, q<1. Якщо ж з відрізка [0,1] використовувати тільки крайні значення, то виходить випадок двозначної логіки. Кажучи узагальнено, приведені співвідношення визначають довільне багатозначне числення висловів Ln, де n - довільне натуральне число не менше 2; L2 - це просто двозначне числення висловів. Тавтологією довільного Ln-числення (для фіксованого n) є формула, що приймає значення 1 для довільного набору значень пропозиціональних змінних. Наступним кроком в узагальненні багатозначної логіки було прийняття у якості істиннісних значень нескінченного числа оцінок, хоча і перераховуємих. В такій системі LÀn. Таким чином, виникає послідовність числень від L2 до LÀ, причому всі Ln (n>2) містяться в L2, тобто все тавтології всіх Ln строго включаються в L2. Для Ln і Lm (n<m) Лінденбаум (Лукасевич, Тарський [1930]) показав, що Lm міститься в Ln, якщо n-1 є дільником m-1. LÀn. співвідношення для С і N такі ж, як в L міститься у всіх скінченозначних L

Дотепер йшлося про матричну конструкцію багатозначних логік. Природно, що в Школі спробували ці числення аксіоматизувати. Вайсберг [1931] довів, що L3 аксіоматизується наступними формулами: CpCqp, CCpqCCqrCpr, CCNpNqCqp, CCCpNppp; правилами виводу є підстановка і відділення. Той же автор висловив гіпотезу (Лукасевич, Тарський [1930]), яку пізніше і довів [1935], що кожне скінченозначне числення Ln аксіоматизується, якщо воно містить наступні формули: CCpqCCqrCpr, CCqrCCpqCpr, CCqrCpp, CCpqCNqNp, CNqCCpqNp. Лукасевич висловив гіпотезу, що Lx аксіоматизується виразами CpCqp, CCpqCCqrCpr, CCCpqqCCqpp, CCCpqCqpCqp, CCNpNqCpq.[8]

Всі наведені аксіоматики виявилися неповними в тому сенсі, що первинних термінів С і N виявилося недостатньо, щоб визначити всі функтори багатозначного числення висловів, причому для кожного Ln (n>2). Річ у тому, що число функцій стрімко росте із зростанням n і, наприклад, для n = 3 число одноаргументних функцій дорівнює 27, а функцій від двох аргументів - 19683. Слупецкий [1936] розв'язав проблему функціональної повноти для L3. Він визначив одноаргументний функтор T такий, що Tx  =  1/2 для довільного x Î {0, 1/2, 1}. Функтори С, N, T визначають всі функтори числення L3. Щоб отримати аксіоматику L3 потрібно до наведених вище аксіом Вайсберга додати формули CTpNTp, CNTpTp.

Всі числення Ln (n>1) несуперечливі. Складніше справа з повнотою. Повноту L3 довів Слупецкий [1939], [1946]. У зв'язку з дослідженнями функції T і питанням повноти (кожна тавтологія належить системі) Слупецкий [1939a] сформулював простий критерій функціональної повноти для довільного Ln: багатозначне числення висловів функціонально повно, якщо первинні терміни цієї системи дозволяють визначити кожний одноаргументний функтор і коли щонайменш один з первинних термінів цього числення, який є функтором двох аргументів, визначається істинніснозначною матрицею з наступними властивостями: а) не всі рядки внутрішньої частини таблиці ідентичні, б) не є ідентичними всі стовпці таблиці, в) у внутрішній частині таблиці повинні знаходитися всі значення, які можуть прийняти аргументи функторів цього числення. Наведені вимоги носять назву критерію Слупецкого.[9] Обговорювані вище числення були системами з одним виділеним значенням. Собоцинський [1936] досліджував числення з двома виділеними значеннями, а Слупецкий [1939] - з k<n виділеними значеннями.

В 30-і роки Лукасевич [1930] оцінював винахід багатозначних логік так: "Я відразу усвідомив, що серед всіх багатозначних систем тільки дві можуть претендувати на філософську значущість: трьохзначна система і система нескінченнозначна. [...] Вважаю, що саме цій останній системі належить першість серед інших".(S.159) І далі: "Все ж таки мені здається, що філософське значення представлених тут систем логіки може бути щонайменш так само великим, як і значення неевклідових систем геометрії". (S.161) Пізніше, в [1953], Лукасевич поміняв свій погляд на філософську значущість трьох- і нескінченнозначних систем логіки. Пропонував також Лукасевич, щоб багатозначні системи числення висловів і предикатів послужили підставою для досліджень в арифметиці і теорії множин. Таким чином, значення цих систем для Лукасевича двояке: філософське і математичне.[10]