4.2.3. Інтуїціоністська логіка. Дискусійна логіка Ст.Яськовського

Першим польським логіком, котрий зайнявся інтуїціоністською логікою був Яськовський [1934]. Він представив інтуїціоністське числення, аксіоматизоване Колмогоровим, у вигляді натурального виводу, а також зауважив, що одна з аксіом А.Гейтінга є незалежною від аксіом Колмогорова. У варшавській школі були розроблені декілька аксіоматик, еквівалентних аксіомам Гейтінга. Ось деякі з них, що подаються в книзі Я.Воленського "Львівсько-Варшавська філософська школа" [1985]:

Яськовський [1934]: CCpCqrCCpqCpr, CpCqp, CpCqKpq, CKpqp, CKpqq, CKCprCqrCApqr, CpApq, CqApq, CNpCpq, CCpNpNp;

Вайсберг [1937]: CpCqp, CCpCqrCCpqCpr, CKpqp, CKpqq, CCpqCCprCpKqr, CpApq, CpAqp, CCprCCqrCApqr, CEpqCpq, CEpqCqp, CNpCpq, CCpNpNp ;

Тарський [1938]: CxCyx, CCxCyzCCxzCyz, CxAxy, CyAxy, CCxzCCyzCAxyz, CKxyz, CKxyy, CCzxCCxyCzKxy, CNxCxy, CCNxxx, CCxNxNx ;

Лукасевич [1941]: CpCqp, CCpCpqCpq, CCpqCCqrCpr, CKpqp, CKpqq, CCpqCCprCpKqr, CpApq, CqApq, CCprCCqrCApqr, CCpNqCqNp, CNpCpq .

Вайсберг [1938] довів т.зв. твердження про сепарацію. Достатньо помітити, що аксіоматику Вайсберга (як і інші) можна розділити на групи: дві перші аксіоми містять тільки знак імплікації, наступні три - імплікації і кон'юнкції, шоста, сьома і восьма - імплікації і диз'юнкції, дев'ята, десята і одинадцята - імплікації і еквівалентності, а останні дві - імплікації і заперечення. В твердженні про сепарацію мовиться, що кожний наслідок, отриманий з інтуїціоністського числення висловів, виводиться з тих аксіом, які окрім імплікації містять виключно функтори, що входять в даний наслідок.

Тарський [1938] подав топологічну інтерпретацію інтуїціоністської логіки, а також показав [1934], [1935], що класичне числення висловів є єдиним несуперечливим і повним розширенням інтуїціоністського числення речень. З останнім твердженням пов'язані результати Лукасевича [1941], [1952] про співвідношення класичного і інтуїціоністського числення висловів. В [1941] Лукасевич пише, що класичне числення сильніше інтуїціоністського, оскільки друге можна отримати з першого шляхом викреслювання однієї аксіоми. Але в [1952] Лукасевич доводить твердження, що інтуїціоністське числення речень містить класичне числення висловів як свою власну частину. Він пише: "[...] в 1938 р. я висловив погляд, що інтуїціоністське числення речень є тільки частиною класичного числення висловів і тому [воно] істотно слабше, ніж останнє. Сьогодні я бачу, що все абсолютно навпаки. Інтуїціоністське числення багатше, а значить сильніше, ніж класичне. Всі застосування класичного числення висловів в математиці використовуються також і в інтуїціоністському численні, але крім того, в інтуїціоністському численні можна розглядати багато витончених проблем, які не вдається сформулювати в класичній системі. Мені здається, що серед відомих дотепер багатозначних систем логіки інтуїціоністське числення є самим інтуїтивним і елегантним." ([1952], S.267)

Сьогодні відомо, що класичне числення висловів не може бути занурено в інтуїціоністське, а тому результат Лукасевича, враховуючи також згадане твердження Тарського про співвідношення цих числень може здатися парадоксом. Воленський [1985] дає наступне цікаве пояснення тому стану речей, що склалося: "Цей парадокс негайно з'ясовується, якщо ми врахуємо, що Лукасевич користується не "звичайним інтуїціоністським численням" речень, а інтуїціоністським численням речень із змінними функторами. Але і при цьому застереженні результат Лукасевича цікавий з філософської точки зору, оскільки ставить питання: Яка система числення висловів адекватно "представляє" класичну логіку? Здається, таким представленням є класичне числення висловів із змінними функторами або ж прототетика Леснєвського, тобто така система, в якій вдається формалізувати принцип двозначності. В світлі цього коментаря погляд Лукасевича, що "всі застосування класичного числення висловів в математиці використовуються також і в інтуїціоністському численні", здається все ще дискусійним". (S.130)

Формулювання дискусійної логіки Яськовського [1948] лежить в руслі тієї ж традиції, що і перша система трьохзначної логіки Лукасевича, тобто інспірована питаннями обґрунтування принципу суперечності у Аристотеля, причому Яськовський продовжує історичні паралелі згадування гегелівсько-марксистського розуміння протиріччя. Але не тільки історичні паралелі містилися в основі дослідження Яськовського. Він приводить два мотиви по суті, які спонукують його розглядати суперечливі системи. Першим з них є поява суперечливих тверджень унаслідок неповноти виразів природної мови, другим - поява в емпіричних науках суперечливих гіпотез, з яких обидві використовуються при поясненні явищ, що вивчаються. Аналізуючи положення справ, що склалося, Яськовський приходить до висновку, що в теорії пізнання необхідна логічна система, в якій використовуються суперечливі судження. Для чіткого викладу своїх інтуїтивних поглядів Яськовський вдається до поняття переповнювання дедуктивної системи. Система S переповнена тоді і тільки тоді, коли довільне правильно побудоване речення системи S виводиться з неї. Двохзначне числення висловів було б системою переповненою, якщо воно містило б як доказані формули речення x та його заперечення Nx. Однак звичайне поняття суперечності і поняття переповнювання взаємно не перекриваються; Яськовський же розуміє суперечність в дедуктивній системі як її переповнювання. Свою мету він бачить в побудові числення висловів, яке: а) містить вирази виду x і Nx без того, щоб система була переповненою; б) було б достатньо багатим, щоб формалізувати дійсно скоювані міркування; в) бути інтуїтивно обґрунтованим, причому про останній пункт Яськовський говорить, що дати йому об'єктивну оцінку важко.

Першим кроком в побудові дискусійної логіки виявилася побудова модального числення висловів M2. Його можна визначити як транскрипцію системи S5 Л'юіса в числення предикатів; в цій транскрипції використовується добре відомий факт формальної подібності кванторів і модальностей. Хай x - формула, побудована за допомогою пропозиціональних змінних і функторів (всіх або деяких) С, А, К, N, E, L. Якщо замінити пропозиціональні змінні одноаргументними предикатами, а L - знаком універсального квантора, то вийде деяка формула одномісного числення предикатів. Відомо, що це числення ефективно віднаходиться, а отже віднаходиться і M2. В M2 можна ввести функтор можливості за допомогою визначення Mp = NLNp.

Припустимо, що висловлені учасниками дискусії тези з’єднані в одну систему. Може статися так, що ця система містить взаємно незгідні думки, які виникли, наприклад, тому, що їх зміст не зв'язаний по смислу, хоча і необов'язково. У зв'язку з висловленим повинне змінитися поняття ствердження формули в системі. Дискусійні твердження завжди містять деякі застереження, наприклад, "з урахуванням висловленого в дискусії погляду". Еквівалентом дискусійного ствердження для Яськовського є функтор можливості.

Тепер легко показати, що дискусійна система не може бути заснована на базі двохзначної логіки. Зокрема, з MCpq і Mp не випливає Mq; правило відділення не застосовується до дискусійного твердження. Цей факт пояснюється тим, що в M2 не має місця формула CMCpqCMpMq. Щоб можна було застосовувати правило відділення Яськовський вводить дискусійну імплікацію Cddpq = CMpq. Тепер дозволяється використовувати правило відділення, оскільки в M2 є формула CMCMpqCMpMq. У свою чергу вводиться дискусійна еквівалентність Ed, яка визначається таким чином: Ed = KCMpqCMqMp. Отримана система D2 може трактуватись як інтерпретація системи M2, тобто D2 є сукупністю правильно побудованих формул з пропозиціональних змінних і функторів Cd, Ed, А, К, N, причому символ M, що стоїть на початку виразу, свідчить про ствердження формули системи M2. і пропонує для неї в M2 дефініцію C

Яськовський доводить загальне твердження, яке говорить, що кожна формула двозначного числення висловів, яка не містить інших функторів окрім С, E, А, стає формулою D2, якщо С замінити Cd, а E - на Ed. Так формулами D2 є вирази EdEdpqEdqp і CdCdpqCdCdqp. Наступне твердження говорить, що якщо X - формула двозначного числення висловів, що не містить інших функторів окрім А, К, N, то X, а також CdNXq є формулами в D2; формулами є вирази NKpNq (закон суперечності) і CdKpNpq (кон'юнктивний закон переповнення). Цей останній закон особливо тісно пов'язаний з ідеєю дискусійної логіки, бо він стверджує, що дискусія є переповненою, якщо деяка думка вступає в конфлікт сама з собою, а не тоді, коли дві різні думки знаходяться не в згоді одна з другою.