5.1.1. З історії метаматематичних досліджень у Львівсько-Варшавській школі

Першою публікацією в ділянці метаматематики була книга К. Айдукевича "З методології дедуктивних наук." [1921] Щоправда, термін "метаматематика" в ній не використовується і автор вже набагато пізніше, в 1960 р., все ще визначає її як "першу польську працю в ділянці методології дедуктивних наук, що залишається під впливом математичної логіки". Термін "метаматематика" увійшов в обіг в школі головним чином в її варшавській частині, основний контингент якої складали математики з філософським родоводом, котрим вони зобов'язані "апостатам філософії" - Леснєвському і Лукасевичу[1]. Однак слід зазначити, що в польському сприйнятті цей рід занять визначався як методологія дедуктивних наук.

В своїй роботі Айдукевич розглядає три проблеми: поняття доказу в значенні суто логічному, несуперечність аксіом і поняття існування в дедуктивних науках. Не дивлячись на ту обставину, що публікація Айдукевича значною мірою є рефератом ідей Д.Гільберта, вона містить два оригінальні результати: дефініцію логічного слідування (речення В логічно слідує з речення А тоді і тільки тоді, коли імплікація А ® В є твердженням логіки), а також релятивізацію поняття існування до даної формальної системи. Останній результат у свою чергу сприяв релятивізації інших метаматематичних понять щодо різних систем. Викликана книжкою Айдукевича дискусія сприяла розвитку методологічних досліджень дедуктивних наук, які до кінця 20-х років рясніли частковими результатами, головним чином в області числення висловів.

Дуже важливо правильно і по достоїнству оцінити роль Леснєвського в розвитку методології дедуктивних наук, котрий, подібно Твардовському, залишався "в тіні" своїх учнів, але зробив вирішальний вплив на хід розвитку метаматематики. Послідовне розділення Леснєвським мови логічної системи і коментарів до неї послужило евристичним джерелом для метаматематичних досліджень у варшавській школі. Немає нічого дивного в тому, що А.Тарський - учень Леснєвського, став головною діючою фігурою в проведенні метаматематичних досліджень, які повинні були вільний стиль коментарів до логічної системи перетворити в точні методи вивчення цих систем шляхом розділення рівнів мови на мову-об'єкт і метамову. В проекті метаматематики Тарський враховував ідеї Гільберта, котрий проголошував створення теорії дедуктивних систем під назвою "метаматематики". Своє бачення метаматематики Тарський висловив таким чином: "Дедуктивні дисципліни в тому сенсі становлять предмет методології дедуктивних наук, яка сьогодні услід за Гільбертом називається метаматематикою, в якому просторові об'єкти є предметами геометрії, а тварини - зоології. Природно, не всі дедуктивні дисципліни представлені у формі, придатній для наукових досліджень. Наприклад, непридатні ті, які не засновані на певному логічному базисі, не мають точних правил виводу і твердження яких, як правило, сформульовані в багатозначних і нечітких термінах природної мови, одним словом ті, які не формалізовані. Кінець кінцем, метаматематичні дослідження обмежуються дискусіями про формалізовані дедуктивні дисципліни. Коротше кажучи, метаматематика не повинна вважатися єдиною теорією. З метою дослідження кожної дедуктивної теорії може бути побудована спеціальна метадисципліна. Однак ця стадія має більш загальний характер: метою в ній є уточнення ряду важливих метаматематичних понять, які спільні окремим метадисциплінам, і визначення основних властивостей цих понять. Одним з результатів цього дослідження є те, що деякі поняття, які можуть бути визначені за допомогою окремих метадисциплін, тут будуть розглянуті як первинні поняття і охарактеризовані послідовністю аксіом." ([1930], S.60) В цьому висловлюванні важливим є прагнення використовувати точні методи в методології, застосування яких диктується самим предметом - дедуктивними дисциплінами. В цьому сенсі наміри Тарського співпадали з прагненням Гільберта, однак в питанні точності методів є і розбіжності. Метаматематика розвивалася Гільбертом у зв'язку з доказами несуперечності, тоді як у варшавській школі метаматематичні дослідження не визначалися досягненням якої-небудь конкретної мети, а полягали в уточненні головним чином семантичних понять. Крім того, і це особливо важливо підкреслити, Гільберт в метаматематичних дослідженнях допускав використовування тільки фінітних методів, які становили ядро його програми формалізму, тоді як "методологія дедуктивних наук" розумілася у Варшаві незалежно від тої або іншої філософії математики і була спрямована на формалізацію окремих семантичних понять з єдиною, мабуть, метою - звільнитися від парадоксів, антиномій та інших химер, перешкоджаючих введенню точних методів в методологію взагалі, і дедуктивних наук зокрема.

Звертаючись до творчості Тарського як одного з творців метаматематики не можна не виділити роль Леснєвського, установок котрого в методі його учень дотримувався неухильно, що зовсім не означає прив'язаності Тарського, наприклад, до концепції радикального номіналізму, яку він перестав поділяти саме в процесі розвитку методології дедуктивних наук. Основним методом, що виявився достатньо універсальним, а тим самим здатним для побудови метаматематики, було визначення. Визначення послужили інструментом Тарському і при написанні однієї з його перших робіт - "Про первинний вираз логістики" [1923] (докторська дисертація), вони ж виявилися найвищою і кінцевою метою його метаматематичних досліджень, як наприклад, визначення поняття істинного речення. В дисертації ще неможливо знайти розподілу рівнів мови, а коментарі до тверджень замінюють собою по суті їх доказ, але крок за межі логічної системи, названий пізніше методологічним, зроблено. У вступі до докторських тез Тарський пише: "Я не провожу свої міркування на основі якоїсь певної системи логістики" (S.68). Але не дивлячись на цю обмовку, "логічну теорію типів" Леснєвського він вважає бездоганною, можливо тому, що її розвиток відбувається шляхом визначень, адже саме їх Тарський вибирає як засіб рішення поставленої задачі: "Чи можна побудувати логічну систему, приймаючи знак еквівалентності як єдиний первинний вираз (очевидно, окрім квантифікаторів)". (S.68-69) Цілком очевидно, що це питання метатеоретичного дослідження Прототетики Леснєвського, однак сформульоване вже безвідносно до самої системи, яка служить джерелом інспірацій при введенні інших логічних понять, у тому числі констант "істина" і "хибність", відсутніх у Леснєвського. (Роль константи "істина" у Леснєвського побічно представляли речення Онтології). Слід особливо підкреслити, що Тарський не вдається до якого-небудь окремого знаку "за визначенням" для введення необхідних йому констант, а подібно до Леснєвського, використовує еквівалентність. Основне твердження його роботи складає речення, яке визначає кон'юнкцію, тоді як всі інші логічні знаки вводяться на підставі цього знаку і прийнятих дефініцій. В символіці Рассела і Уайтхеда знак кон'юнкції вводиться наступною формулою:

[p,q]::p×q º\[f] \p º : [r].p º f(r). º .[r].q º f(r)

де f - функція істинності ("truth-function"). Визначення інших логічних понять дається виразами, серед яких символи Vr і Fl означають істиннісні оцінки "істина" і "хибність" відповідно:

Vr º .[p].p º p

Fl º.[p] p

[p]:ù (p) º . p º Fl

[p,q] \ p É q. º : p º. p× q

[p,q]: pÚ q. º . ù (p) É q.

Подальший виклад присвячено вивченню властивостей істинніснозначних функцій, аргументами яких є речення, зокрема функціям підстановки. У зв'язку з цим питанням Тарський зауважує, що "Леснєвський сконструював деякий загальний метод, який дозволяє елімінувати з мови функції, що не є істинніснозначними функціями", однак в примітці додає, що цей результат не опублікований. (S.75)

Метаматематичні результати 20-х років Тарський виклав в двох працях [1930], [1930a], які становили початковий етап цієї нової дисципліни. Суттєвим досягненням в цих дослідженнях було формулювання теорії приєднання наслідків в аксіоматичній формі.

Хай X, Y, S, Cn(X), nx, cxy означають відповідно множини речень X і Y, множину всіх речень S деякої мови (X і Y — підмножини множини S), множину логічних наслідків множини X, заперечення речення x і імплікацію з антецедентом x і консеквентом у. В цих позначеннях аксіоми логічної теорії приєднання наслідків такі: (1) S £ Ào, (2) XÍ Cn(X), (3) Cn(Cn(X)) = Cn(X), (4) Cn(X) = $YCn(Y), де Y є скінченою підмножиною множини X, (5) $xCn(x) = S, (6) якщо x і у належать S, то nx і cxy також належать S, (7) якщо cxy Î Cn(X), то у ÎÎ Cn(X)+{x}, то cxy Î Cn(X), (9) Cn{x,nx} = S, (10) Cn{x}× Cn(X)+{x}, (8) якщо у Cn{nx} = Cn0.

Перші п'ять аксіом - це т.зв. загальні аксіоми, які становлять першу групу і які не враховують конкретне числення. Аксіома (1) стверджує, що множина S містить не більше речень, ніж їх можна перерахувати, (2) - що кожна множина міститься в множині своїх наслідків, (3) - що операція приєднання наслідків ідемпотентна, (4) - що операція Cn скінчена, тобто якщо що-небудь вдається вивести з множини X, то це ж вдається вивести з її скінченої підмножини, (5) - що існує речення, наслідки якого складають всю мову S. Аксіоми (6)-(10) належать дедуктивним системам, що використовують двозначну логіку. Аксіома (6) говорить про те, що Cn якраз виражає таку логіку в імплікативно-негативному представлені, (7) - це правило відділення, (8) - теорема дедукції, сформульована, як інформує Тарський ([1956], S.32) в 1921 р. у зв'язку з дискусією, викликаною книжкою Айдукевича,[2] в (9) стверджується, що наслідок пари взаємно суперечливих речень є множиною S і в (10) - що перетин множини наслідків речення x і множини наслідків речення nx дорівнює множині наслідків, отриманих з порожньої множини. З аксіом (1)-(5) випливає, що якщо X Í Y, то Cn(X) Í Cn(Y) (монотонність операції приєднання наслідків), а також Cn(X+Y) = Cn(Cn(X)+Cn(Y)). Множина логічних наслідків множини X інтуїтивно розуміється як множина доведених речень, виведених з множини X за допомогою прийнятих правил виводу. Далі Тарський подає точні визначення метаматематичних понять, що доти використовувались інтуїтивно: поняття несуперечності, повноти, аксіоматизованості, скінченої аксіоматизованості, незалежності; всі ці поняття визначені для довільної множини речень.

Поняття дедуктивної системи є надзвичайно важливим поняттям, оскільки дозволяє визначити власне логіку як окремий випадок такої системи. Так, множина речень X буде дедуктивною системою тоді і тільки тоді, коли Cn(X)=X. Оскільки Тарським доводиться, що для кожної множини речень X існує множина Y, що містить X, і така, що Y = Cn(X), то легко заключити, що Cn(0) є найменшою дедуктивною системою та теоретико-множинним перетином всіх дедуктивних систем. Цілком природним буде вважати Cn(0) логікою.

Активну участь в дослідженні дедуктивних систем брав Лінденбаум. Тарський [1930a] подає декілька важливих результатів, що стосуються таких систем. Так виявляється, що число всіх дедуктивних систем становить неперелічену множину, а число всіх аксіоматизованих систем перераховується. Разом з тим жодну систему не вдається представити у вигляді скінченої суми відмінних одна від другої систем, а кожну несуперечливу множину речень можна розширити до несуперечливої і повної множини речень. Щоправда, твердження Лінденбаума неефективне, оскільки воно не вказує конкретного методу побудови конструкції розширення, а тому може служити прикладом використовування таких методів у варшавській логічній школі та їх відмінності від програми побудови метаматематики Гільбертом.

Для Тарського ефективність побудови формул зберігалася implicite в початковому періоді створення метаматематики завдяки тому, що він поділяв концепцію радикального номіналізму Леснєвського. Але вже в [1930a] він помічає, що в аксіомі (6) речення не вдається потрактувати як конкретні матеріальні об'єкти і доводиться використовувати не поняття інскрипції, наприклад, "x", а поняття типу-інскрипції як класу записів, еквіморфних "x". Тим самим в метаматематику був введений абстрактний предмет - тип виразу.

В роботах [1935], [1936] Тарським запропонована інша версія метаматематики у формі т.зв. числення систем. В численні систем первинними термінами є: множина речень логіки L, множина всіх речень S, заперечення n, імплікація с. Аксіоматику числення систем складають наступні твердження: (1) 0 < S £ Ào, (2) якщо x,yÎS, то nx, cxyÎS, (3) L Í S, (4) ccxyccyzcxz, ccnxxx, cxcnxy Î L (приналежність стандартного числення L2 до L), (5) якщо x, cxy Î L, то уÎL. Якщо X є множиною речень, то Cn(X) може бути визначена як найменша множина, що містить множини L і X і замкнена щодо правила (операції) відділення. З аксіом числення систем (1)-(5) і визначення відношення слідування Тарський виводить аксіоми загальної теорії слідування, а також приймає рівність L = Cn(0). При цьому виявляється, що з аксіом загальної теорії слідування і визначення L = Cn(0) можна вивести аксіоми числення логічних систем. Таким чином, обидві версії метаматематики еквівалентні, але Тарський вважає числення систем інтуїтивно більш прозорим. Той факт, що логіка визначається як множина наслідків порожньої множини засновків, тобто спільної частини всіх логічних систем, цей факт підтверджує інтуїтивні міркування, що логіка інваріантна щодо "змісту". Разом з тим таке визначення логіки служить також ілюстрацією висловленої вище тези про те, що в ній процес (виводу) = результату, під яким слід розуміти логічну форму без якого-небудь номіналістичного субстрату у дусі радикального номіналізму, наприклад, Леснєвського. Як здається, саме так і розумів логіку Лукасевич, щоправда, дещо акцентуючи логічний процес як необхідний. Тарський, співпрацювавши з обома засновниками варшавської логічної школи, більше наголошував на результаті, ніж на самому логічному процесі. Можливо саме тому ним було поставлено питання: чи можлива алгебра систем? Виявилося, що цей результат отримати можна, якщо визначити суму систем та їх доповнення. Однак така алгебра не є ізоморфною алгебрі Буля, або ж алгебрі множин, які є інтерпретаціями числення висловів. Алгебра систем виявилася ізоморфною алгебрі Буля, яка служить моделлю інтуїціоністського числення висловів і, зокрема, вона не містить закону виключеного середнього. Цей несподіваний результат можна представити таким чином: відношення між алгеброю множин і алгеброю систем подібне до відношення між класичним і інтуїціоністським численням висловів.