ІМ вимагає здійснення різного роду розрахунків, які пов’язані з потоками грошових коштів в різні періоди часу. Важливе значення в даних розрахунках відіграє оцінка вартості грошей в часі. Концепція такої оцінки базується на тому, що вартість грошей зі спливом часу змінюється з врахуванням норми прибутковості на грошовому ринку, в якості якої виступає норма позичкового відсотка. Під відсотком розуміють суму доходів від використання грошей на грошовому ринку. Враховуючи, що інвестування є часом досить довгий процес, в інвестиційній практиці часто приходиться порівнювати вартість грошей при початку їх інвестування з вартістю грошей при їх поверненні у вигляді майбутнього прибутку.

В процесі порівняння вартості грошових коштів при їх інвестуванні і поверненні використовують два основних поняття: майбутня вартість грошей і теперішня їх вартість.

Майбутня вартість грошей - це сума, інвестованих в теперішній момент коштів, в яку вони перетворяться через певний період часу, з врахуванням певної ставки відсотка. Визначення майбутньої вартості грошей пов’язано з процесом нарощування цієї вартості, яка представляє собою поетапне збільшення суми вкладу шляхом додавання до початкового його розміру суми відсотка (відсоткових платежів). Ця сума розраховується за допомогою відсоткової ставки. В розрахунках відсоткова ставка використовується не тільки як інструмент нарощування вартості грошових коштів, але і як вимірник ступеня доходності інвестиційних операцій.

Теперішня вартість грошей - це сума майбутніх грошових надходжень, наближених з врахуванням певної ставки відсотка (“дисконтна ставка”) до теперішнього періоду. Визначення теперішньої вартості грошей пов’язано з процесом дисконтування цієї вартості, яка представляє собою операцію, зворотну нарощуванню при обумовленому кінцевому розмірі грошових коштів. В цьому випадку сума відсотка (дисконту) віднімається з кінцевої суми (майбутньої вартості) грошових коштів. Така ситуація виникає в тих випадках, коли необхідно визначити стільки коштів необхідно інвестувати сьогодні для того, щоб через певний період часу отримати наперед обумовлену їх суму.

При проведенні розрахунків процеси нарощування і дисконтування вартості можуть здійснюватися як за простим, так і за складним відсотком. Прості відсотки застосовуються, як правило, при короткостроковому інвестуванні, а складні відсотки при довгостроковому.

Простим відсотком називається сума, яка нараховується за початковою (теперішньою) вартістю внеску в кінці одного періоду платежу, обумовленого умовами інвестування коштів (місяць, квартал, рік, і т.п.).

При розрахунку суми простого відсотка в процесі нарощування внеску використовується наступна формула:

J = P х t х r, де (1)

J - сума відсотка за певний період інвестування в цілому;

F_t і P - вартість однієї суми грошей у майбутньому (F_t) і теперішньому періоді (Р);

г – банківська річна ставка, ціна річного використання грошей (десятковий дріб);

t – порядковий номер року, починаючи з наступного за поточним, якому відповідає величина Р.

Приклад 1. Необхідно визначити суму простого відсотка за рік при наступних умовах: початкова сума внеску – 1000 у.о.; відсоткова ставка, яка виплачується щоквартально, - 20%. Підставляючи ці значення у формулу, отримаємо:

J = 1000 * 4 * 0,2 = 800 у.о.

А майбутня вартість внеску з врахуванням нарахованої суми відсотка визначається по формулі:

F_t = P + J = P х( 1 + tr). (2)

У нашому прикладі майбутня вартість внеску складатиме 1800 у.о. (1000+800).

Перехід від оцінки вартості грошей сьогодні до їхньої вартості у майбутньому називається компаундуванням, а (1 + tr) – коефіцієнтом компаундування. Його значення завжди повинні бути більше одиниці.

Приклад 2. Планування інвестицій, визначення їхньої доцільності, прибутковості завжди є прогнозуванням майбутніх доходів та витрат, тобто грошових потоків.

Чи мають однакову грошову цінність дохід в 10 тис. грн., який буде отримано цього року, і такий же дохід, отриманий через 3 роки?

Якщо ми маємо 10 тис. грн. зараз, то через рік за умови, що будемо зберігати їх у банку під 5% річних, вони вже дорівнюватимуть 10,5 тис. грн., ще через рік – 11 тис. грн. тощо. А щоб мати через рік 10 тис. грн., сьогодні треба покласти в банк (мати в наявності) 9,5 тис. грн.

З наведених вище прикладів випливає, що 10 тис. грн. сьогодні еквівалентні 10,5 тис. грн. через рік, 11 тис. грн. через 2 роки, 11,5 тис. грн. через 3 роки тощо. Тобто за рахунок банківської системи кошти можуть з великою надійністю зростати за рік на 5%.

Зворотний процес отримання сьогоднішнього еквіваленту вартості коштів, що мають бути у майбутньому, називається дисконтуванням.

При розрахунку суми простого відсотка в процесі дисконтування вартості грошових коштів (тобто суми дисконту) використовується наступна формула:

D = F_t - F_t х (1 / (1 + tr) , (3)

Де D – сума дисконту (по простим відсоткам) за обумовлений період інвестування в цілому.

Приклад 3. Необхідно визначити суму дисконта по простому відсотку за рік при наступних умовах: кінцева сума вкладу визначена в розмірі 1000 у.о.; дисконтна ставка складає 20% в квартал. Підставивши дані значення у формулу, отримаємо:

D = 1000 –1000 х (1 / (1+4х0,2) = 444 у.о.

Загальна формула приведення обсягу коштів майбутнього періоду (F_t) до еквівалентного обсягу поточного року (Р) має вигляд:

Р = F_t - D = F_t х (1 / (1 + tr) (4)

В нашому прикладі теперішня вартість інвестицій, які необхідні для отримання через рік 1000 у.о., повинна складати 556 у. о. (1000 - 444).

Використаний в цих випадках множник 1 / (1+tr) називається дисконтним множником (коефіцієнтом) простих відсотків, значення якого завжди повинно бути менше одиниці.

Якщо рівень г прогнозується змінним для різних років, то формула приведення обсягу грошових надходжень у році t до поточного року має вигляд:

Р = F_t х (1 / (1+г₁t₁)(1+г₂t₂)...(1+г_it_i) (5)

Приклад 4. Яким коштам сьогодні еквівалентна сума у 100 тис. грн., що буде отримана через 3 роки (річний процент - 5%)?

Дисконтування за формулою (4) дає відповідь - 86 тис. грн.

P = 100000 / ( 1 + 0,05 ) ³ = 86000 (грн.)

Приклад 5. Які кошти треба мати сьогодні, щоб через 5 років повернути борг у 500 тис. грн. (банківський депозитний процент у перші два роки – 3,5%, у наступні три роки – 5%).

Треба привести вартість майбутніх коштів (F_t ) за формулою (5) до поточного періоду (Р):

P = 500000 * (1 / (( 1 + 0,035 * 2 ) ( 1 + 0,05 * 3 ))) = 406504 (грн.)

Pс = 500000 / ( 1 + 0,035 )² ( 1 + 0,05 )³ = 400000 (грн.) –складний процент.

Складними відсотками – називається сума доходу, яка утворюється у результаті інвестування при умові, що сума нарахованого простого відсотка не виплачується після кожного періоду, а додається до суми основного внеску і в наступному періоді сама приносить дохід.

При розрахунку суми внеску в процесі його зростання (нарощування) за складними відсотками F_tс використовується наступна формула:

F_tс = P ( 1 + r )^t (6)

Відповідно сума відсотка J_c в цьому випадку визначатиметься за формулою:

J_c = F_tс - P (7)

Приклад 6. Необхідно визначити майбутню вартість внеску і суму складного відсотка за весь період інвестування при наступних умовах: першопочаткова вартість внеску – 1000 у.о.; ставка відсотка при розрахунку суми складного відсотка встановлена в розмірі 20% у квартал; загальни йперіод інвестування 1 рік. Підставляючи ці значення у формули 6 та 7, отримаємо:

F_tс = 1000 * ( 1 + 0,2 )⁴ = 2074 у.о.

J_c = 2074 – 1000 = 1074 у.о.

Графічно процес зростання вартості внеску по складним відсоткам буде мати наступні числа 1200 –1 квартал; 1440 – 2; 1728 – 3; 2074 – 4.

Приклад 7. Треба визначити доцільність двох проектів. Маючи 100 тис. грн., купити дім з метою його продажу через 5 років за 120 тис. грн., чи покласти ці 100 тис. грн. у банк під 5% річних?

Інвестиції у нерухомість уможливлять через 5 років отримати 120 тис. грн. Інвестиції у банківські депозитні сертифікати дадуть змогу отримати:

100х(1 + 0,05)⁵ = 128 (тис. грн.).

Порівняння 120 і 128 тис. грн. свідчить на користь проекту останнього. Зауважимо надалі, що можливість використання грошей просто як вклад та зберігання у надійному банку або іншим безризиковим способом, що приносить щорічні проценти приросту вкладених коштів, є альтернативним варіантом використання інвестицій для будь-якого інвестиційного проекту. Цей принцип лежить в основі визначення чистої приведеної вартості проекту за допомогою дисконтування.

При розрахунку теперішньої вартості грошових коштів в процесі дисконтування за складними відсотками використовується наступна формула:

P_c =F_t х (1 / ( 1 + r)^t (8)

Відповідно сума дисконту в цьому випадку визначається за формулою:

D_c = F_t - P_c (9)

Приклад 8. Необхідно визначити теперішню вартість грошових коштів і суму дисконту за складними відсотками за рік якщо: майбутня вартість грошових коштів визначена в розмірі 1000 у.о.; ставка для дисконтування складного відсотка складає 20% за квартал. Підставляючи ці значення у формули 8 та 9, отримаємо:

P_c = 1000 * (1/ (1 + 0,2 )⁴ )= 482 у.о.;

D_c = 1000 – 482 = 518 у.о.

Графічно процес зростання вартості внеску по складним відсоткам буде мати наступні числа 883 –1 квартал; 694 – 2; 578 – 3; 482 – 4.

Множники ( 1 + r)^t і 1 / ( 1 + r)^t називаються, відповідно, множником зростання і множником дисконтування складних відсотків. З врахуванням математично розрахованих множників зростання і дисконтування складних відсотків розроблені спеціальні таблиці, з допомогою яких при заданих розмірах ставки відсотка і кількості платіжних періодів можна легко вирахувати теперішню або майбутню вартість грошових коштів.

При оцінці вартості грошей в часі необхідно враховувати, що результат оцінки залежить не тільки від розміру відсотка, але і від періодичності виплат (або кількості платіжних періодів) на протязі одного і того ж самого терміну. Іноді буває більш вигідним інвестування грошей під меншу ставку відсотка, але з більшою періодичністю виплат.

Приклад 9. Перед інвестором стоїть завдання розмістити 100 млн. грн. на депозитний вклад терміном на 1 рік. Один банк пропонує інвестору виплачувати дохід по складним відсоткам в розмірі 23% в квартал; другий - в розмірі 30% один раз в чотири місяці; третій - в розмірі 45% два рази на рік; четвертий - в розмірі 100% один раз в рік.

Для того, щоб визначити, який варіант інвестування кращий, побудуємо наступну таблицю:

Таблиця 1.

Розрахунок майбутньої вартості вкладу при різних умовах інвестування

млн. грн.

Порівняння варіантів показує, що найбільш ефективним являється 1-ий варіант (виплата доходу в розмірі 23% один раз в квартал).

Майбутня вартість ануїтета

Інвестування грошових коштів у різноманітні програми, створення грошових фондів цільового призначення, погашення банківської заборгованості тощо передбачають виплати, здійснювані через певні проміжки часу. При цьому виникає ряд послідовних платежів, пойменованих потоком платежів.

Ряд послідовних фіксованих платежів, здійснюваних через рівні проміжки часу, називають фінансовою рентою або ануїтетом.

Узагальнюючими показниками ануїтета є його майбутня і теперішня вартість.

Майбутня вартість ануїтета - це сума всіх членів потоку платежів з нарахованими на них процентами на кінець періоду, тобто на дату останньої виплати. Вона показує, яку величину матиме капітал, що вкладається через рівні проміжки часу впродовж всього терміну ануїтета разом з нарахованими процентами.

Коли платежі здійснюються щороку впродовж t років при процентній ставці r, майбутнє значення вартості ануїтета дорівнюватиме:

F_a = A*((1+r)^t-1 ) / r),де (10)

F_a – майбутня вартість ануїтета, r – процентна ставка, t – кількість років (періодів).

Величина ((1 + г)^t- 1) / r) називається процентним фактором майбутньої вартості ануїтета, що може бути визначений шляхом прямого обчислення на комп'ютері, або його значення може бути знайдене зі спеціальних таблиць.

Приклад 10. Майбутня вартість ануїтета

Інвестор планує вкладати $3000 в ануїтет у кінці кожного року впродовж 10 років. Якщо проценти в розмірі 9% нараховуються щорічно, то яку суму через 10 років може одержати інвестор?

Розв'язання. Використовуємо формулу (10):

F_a = 3000 * ((1+0,09)¹⁰ – 1) / 0,09) = 45578,79$

У кінці 10 року інвестор одержить $45578,79.

Формула (10) є формулою майбутньої вартості звичайного ануїтета, бо всі платежі (надходження) грошових коштів відбуваються в кінці періодів. Коли платежі відбуваються на початку кожного періоду, то в цьому разі ми маємо справу з авансовим ануїтетом (FA_a). Його майбутня вартість визначається за формулою:

FA_a = F_a (1+r), (11)

Приклад 11. Майбутня вартість авансового ануїтета

Інвестор планує вкладати $2000 в ануїтет на початку кожного року впродовж 10 років. Визначте суму, яку отримає інвестор через 10 років за умови, що проценти нараховуються щорічно в розмірі 6%.

Розв'язання. Використовуємо формулу (11) для обчислення майбутньої вартості авансового ануїтета: FA_a = 2000 * (((1+0,06)¹⁰ -1 ) / 0,06) * (1+0,06) = 26361,597$.

У цілому ряді практичних задач використовується значення не процентного фактора майбутньої вартості ануїтета, а його зворотна величина, яку називають процентним фактором фонду відшкодування.

Припустимо, що величина F_a – це майбутня вартість боргових зобов'язань і для її погашення необхідно створити фонд відшкодування. Для його створення потрібно в кінці кожного періоду вносити певну суму коштів, рівну величині А. Таким чином, величина щорічного внеску до фонду відшкодування дорівнюватиме:

A = F_a х (( r / ( 1 + r)^t – 1) (12)

Приклад 12. Фонд відшкодування

Корпорації через 15 років необхідно покрити витрати за випуск облігацій у сумі $10 000 000. Вона створює для цього фонд відшкодування і сподівається отримувати 8% щорічно від використання коштів фонду. Яку суму щорічно корпорація повинна вкладати до фонду, щоб акумулювати повністю $10 000 000, якщо щорічні платежі вносяться до фонду в кінці кожного року?

Розв'язання. Якщо щорічні платежі А до фонду вносяться в кінці кожного року, використовуємо формулу (12) для визначення майбутньої вартості звичайного ануїтета:

A = $10000000 * (0,08 / (1+ 0,08)¹⁵ - 1) = 368295,45$

Корпорація повинна щорічно вкладами до фонду 368295,45$ упродовж 15 років, щоб одержати $10000000.

Теперішня вартість ануїтета

Дисконтування грошових потоків при оцінці інвестицій дає можливість оцінити теперішню (сучасну, наведену, поточну) вартість грошової суми, що може бути отримана в майбутньому.

В багатьох задачах, що постають на практиці, грошові кошти повинні надходити або вкладатися в кінці кожного року за певний проміжок часу. Теперішня вартість ряду платежів (або надходжень) є сумою щорічних окремих платежів (надходжень). Дана сума виражається такою формулою:

PVA = P₁ * (1 / (1+r)) + P₂ * (1 / (1+r)² ) + + Pn * (1 / (1+r)ⁿ ), де (13)

PVA - теперішня вартість грошей, що повинна бути отримана.

1/(1+r)ⁿ - процентний фактор теперішньої вартості грошей (показує, скільки потрібно вкласти коштів зараз за складною процентною ставкою і, щоб через n років отримати 1 грошову одиницю.

Приклад 13. Теперішня вартість ануїтета

Корпорація розраховує отримати наступні грошові потоки від вкладення інвестицій: рік 1 - $3000, рік 2 - $4000, рік 3 - $5000, рік 4 - $6000. Необхідна ставка прибутковості інвестицій - 12%. Визначте теперішню вартість грошових потоків від інвестицій.

Розв'язання. Використаймо формулу (13) для визначення, теперішньої вартості грошових потоків:

PVA = 3000 х 1/(1 + 0,12) + 4000 х 1/(1 + 0,12)² + 5000 х1/(1 + 0,12)³ + 6000 х 1/(1 + 0,12)⁴ = 13239,35 $.

Теперішня вартість грошових потоків від інвестицій дорівнює $13239.35.

Теперішня вартість ануїтета визначається як:

PVA = P * ((1+r)ⁿ -1 / r * (1+r)ⁿ) (14)

((1+r)ⁿ - 1 / r х (1+r)ⁿ) – процентний фактор теперішньої вартості ануїтета.

Приклад 14. Теперішня вартість ануїтета

Корпорація розраховує отримувати грошові надходження від впровадження нового проекту $5000 щорічно упродовж 10 років. Знайдіть теперішню вартість грошей, яку отримає корпорація, якщо ставка дисконта 10%.

Розв'язання. Використовуємо формулу (14) для визначення теперішньої вартості грошових потоків:

PVA = 5000 * ((1+0,10)¹⁰ – 1 / 0,10 * (1+0,10)¹⁰ ) = 30723 $

Теперішня вартість авансованого ануїтета визначається як:

PVA_A = P * ((1+r)ⁿ -1 / r * (1+r)^n-1) (15)

Для визначення суми, яку повинен сплачувати позичальник у кінці кожного періоду, користуються формулою (16):

P = PVA * (r * (1+r)ⁿ / (1+r)ⁿ -1) (16)

Приклад 15. Відновлення капіталу

Позичальнику потрібні $30000 для подальшого інвестування. Банк надає позичку на 20 років під 8% річних з рівними щорічними платежами в кінці року. Знайдіть суму, яку повинен спла­чувати позичальник у кінці кожного року.

Розв'язання. Використовуємо формулу (16) для визначення суми P, яку повинен сплачувати позичальник у кінці кожного року:

P = 30000 * (0,08 * (1+0,08)²⁰ / (1+0,08)²⁰ -1) = $3055.57$.

Позичальник повинен сплачувати щорічно $3055.57 упродовж 20 років, щоб повернути банку $30000 і проценти.

Перпетуїтет - це ануїтет або серія періодичних платежів, що тривають нескінченно. Якщо п прагне до нескінченності, то ми отримаємо наступну формулу:

PV = P/r (17)

P – річний платіж;

r – процентна ставка.

Приклад 14. Теперішня вартість перпетуїтета.

Якщо річна процентна ставка 10%, то якою буде теперішня вартість перпетуїтета $1000?

Розв'язання. Використаємо формулу (17) для визначення теперішньої вартості перпетуїтета..

PV=$1000/0.10 = $10000. Теперішня вартість перпетуїтета дорівнює $10000.