5.2. Регресіпний аналіз

Вивчення кореляційного зв'язку між ознаками починається з регресійного аналізу, який вирішує проблему встановлення форми зв'язку, або виду рівняння регресії, та визначення параметрів рівняння регресії.

В регресійному аналізі розрізняють рівняння парної (простої) та множинної (багатофакторної) регресії. Коли зв'язок із результативною ознакою у здійснюється з одним видом факторної ознаки х, то рівняння регресії має назву рівняння парної регресії. Якщо результативна ознака у пов'язана з декількома видами факторних ознак х_j (j=1-т), то така залежність має назву рівняння множинної регресії. Обмежимось розглядом рівнянь парної регресії, як найбільш простим випадком зв'язку між ознаками, що достатньо широко використовується в статистичній практиці обстеження економічних явищ.

Найбільш часто для характеристики кореляційного зв'язку між ознаками використовують такі види рівнянь парної регресії, або кореляційних рівнянь:

а) лінійний Y = а₀ + а₁х;

б) параболічний Y = а₀ + а₁x² ;

в) гіперболічний Y = а₀ + а₁ 1/x;

г) степеневий Y= а_ох ^a1 , (6.5)

де а₀, a₁ - параметри рівнянь регресії, які підлягають визначенню.

Параметри а_j (j=1-m)в рівняннях регресії визначаються методом найменших квадратів, який запропоновано в XVIII ст. французьким математиком Лежандром. Цей метод найкращим чином відповідає кореляційній таблиці і припускає знаходження таких значень параметрів рівняння регресії, при яких сума квадратів відхилень табличних (фактичних) значень результативної ознаки у від теоретичних Y за лінією регресії була б мінімальною:

S = ∑(y - Y)² = min

Функція S параметрів рівняння регресії а_j буде мінімальною тоді, коли виконуються необхідні умови знаходження екстремуму цієї функції - дорівнення нулю перших похідних функції за параметрами:

∂S : ∂a₀ = 0; ∂S : ∂a₁ = 0

Із цих умов визначається система нормальних рівнянь для знаходження параметрів а₀ та а₁.

У випадку лінійного виду рівняння регресій система нормальних рівнянь записується у вигляді:

∑y = na₀ + a₁∑x

∑хy = a₀∑x + a₁∑x²

де n - кількість одиниць сукупності (тобто заданих пар значень х і у).

Розв'язавши цю систему, знаходимо такі значення параметрів:

а₀ = (∑у∑х² - ∑ху∑х) : (n∑х - ∑х∑х)

а₁ = (n∑ху - ∑х∑у) : (n∑х² - ∑х∑х)

або

a₀ = y_сер – a₁ y_сер; a₁ = (x y_сер - x_сер y_сер) : (x²_сер - x_сер²)

де ху_сер - середня із добутку факторної ознаки на результативну.

Використавши рівняння регресії, можна знайти теоретичне значення Y для будь-якого значення факторної ознаки х.

У рівнянні параметр а₀ економічного змісту не має, а геометрично він відповідає значенню ординати ліній регресії Y при х=0. Параметр а₁ називається коефіцієнтом регресії і показує зміну результативної ознаки Y при зміні факторної ознаки х на одиницю; геометрично параметр а₁ відповідає куту нахилу (в радіанах) прямої лінії регресії до горизонтальної осі.

Для оцінки впливу факторної ознаки на результативну може розраховуватись коефіцієнт еластичності в середньому для усієї сукупності:

К_е = а₁х_сер / у_сер

де х_сер, у_сер - середні величини фактичних даних відповідно за факторною та результативною ознаками в цілому для сукупності.

Коефіцієнт еластичності показує, на скільки процентів у середньому зміниться результативна ознака при зміні факторної ознаки на 1%.

Прикладами використання лінійного рівняння регресії є такі залежності: між електроозброєністю праці (х) на 1 робітника і випуском готової продукції (у) для однорідних підприємств; між стажем роботи (х) та виробкою 1 робітника за зміну (у) тощо.

Для вибору виду рівняння регресії необхідно побудувати графік залежності фактичних даних у=f(х) і за групуванням точок на графіку встановити візуально, до якого виду (лінійного чи нелінійного) можна віднести лінію регресії.