6.4. Методи обробки динамічних рядів

При аналізі рядів динаміки важливо виявити загальну тенденцію розвитку (тренд) соціально-економічного явища, тобто встановити, в якому напрямку (зростає, зменшується) і за якою залежністю (лінійна чи нелінійна) вона змінюється. Ця задача в статистиці називається вирівнюванням динамічних рядів. Часто рівні ряду з часом змінюються (коливаються), але ця зміна для різних явищ неоднакова і може визиватися різними причинами. Говорять, що динаміка ряду включає три компоненти: тенденцію (або тривалочасовий рух); короткочасовий систематичний рух; несистематичний випадковий рух. Вивчаючи ряди динаміки, дослідники намагаються виявити головним чином загальну тенденцію (тренд) у змінах рівнів ряду, тобто основну закономірність розвитку явища, яка вільна від дії різних випадкових факторів. Для цього ряди динаміки підлягають спеціальній обробці -вирівнюванню. Вона дозволяє характеризувати особливості зміни за часом динамічного ряду в найбільш загальному вигляді, вважаючи, що через фактор часу можна передати вплив усіх головних факторів.

До способів і методів вирівнювання динамічних рядів можуть бути віднесені такі:

а) збільшення інтервалів;

б) обчислення середніх рівнів для збільшених інтервалів

в) визначення ковзкої середньої;

г) аналітичне вирівнювання.

Найбільш простим способом вирівнювання рядів є збільшення їх інтервалів. Суть цього підходу полягає в тому, що первинний ряд динаміки перетворюється і замінюється іншим, рівні якого відносяться до більших за тривалістю періодів часу (денні інтервали замінюються на п'яти- або десятиденними, місячні інтервали - квартальними і т.і.). Знов утворений ряд буде містити збільшені рівні, які отримані підсумуванням рівнів первинного ряду абсолютних величин. При цьому відхилення в рівнях, обумовлених випадковими причинами, взаємно гасяться, згладжуються і більш ясно виявляються в дії основні фактори зміни рівнів, тобто загальна тенденція.

Розглянемо використання способу збільшення інтервалів за даними реалізації телевізорів в магазинах міста (шт.):

Різні напрями змін за окремими місяцями рівнів даного
ряду динаміки затруднює висновки про основну тенденцію
продажу телевізорів. Рішення цієї задачі спрощується, якщо
відповідні місячні рівні поєднати у квартальні: І квартал - 972
шт.; II квартал - 1011 шт.; II квартал - 1153 шт.; IV квартал -
1224 шт. Після збільшення інтервалів основна тенденція
зростання продажу телевізорів стає явною: 972<1011<1153<1224.

Частковим випадком розглянутого способу є обчислення середніх рівнів для збільшених інтервалів. При цьому збільшені рівні ряду динаміки замінюються середніми рівнями збільшених інтервалів.

Одним із розповсюджених простих методів вирівнювання динамічних рядів є їх згладжування за допомогою ковзної (плинної) середньої. Суть методу полягає в тому, що для первинного ряду динаміки формуються збільшенні інтервали, які складаються з однакової кількості рівнів т. Кожен послідовний інтервал отримується послідовним зміщенням від початкового на один рівень. Тоді для нових інтервалів розраховуються середні рівні у_сер1 = (у₁ + у₂ + ... + у_m) / m; у_сер2 = (у₂ + у₃ + ... + у_m+1) / m і т.д., які як би „згладжують” інтервали і "плинуть" по динамічному ряду з кроком, рівним одиниці. Дістається новий ряд, зіставлений із ковзних середніх. Кожна із середніх відноситься до середини укрупненого інтервалу, тому технічно зручніше зіставляти збільшені інтервали із непарної кількості рівнів m (три, п’ять, сім тощо). Знаходження ковзної середньої для парної кількості рівнів складає незручність, обумовлену тим, що середня може бути віднесена між двома рівнями і тому необхідна додаткова процедура – центрування: обчислення середньої із двох суміжних середніх для кожного інтервалу. В результаті новий динамічний ряд, побудований із ковзних середніх, дає виразну тенденцію розвитку явища за рахунок усування коливань рівнів внаслідок випадкових причин. Це наочно проявляється при графічному зображенні фактичних та згладжуваних даних при виявленні тенденції розвитку явища (збільшення або зменшення за часом).

Використання цього методу розглянемо за даними про реалізацію продуктів харчування в магазинах міста (тис. грн.):

Таблиця 6.7

Особливістю даних табл. 6.7 є періодична зміна квартальних рівнів: збільшення продажу у 2 та 3 кварталах і зниження у 4 кварталі. Основна тенденція тут не проглядається.

Для виявлення тенденції розвитку методом ковзної середньої перш за все кількість рівнів первинного ряду об'єднується у збільшених інтервалах. Звичайно для характеристики розвитку товарообороту магазинів за роками зіставляються інтервали з чотирьох річних кварталів. Тому при використанні методу ковзної середньої їх розрахунок полягає у визначенні середніх величин із чотирьох рівнів ряду з відкиданням при розрахунку кожної нової ковзної середньої одного рівня ліворуч і приєднання одного рівня праворуч:

у_сер1 = (у₁ + у₂ + у₃ +у₄ ) / 4; у_сер2 = (у₂ + у₃ + у₄ + у₅) / 4 і т.д.

В нашому прикладі розраховується 13 ковзних середніх:

Таблиця 6.8

Для парного числа рівнів кожне значення ковзної середньої припадає на проміжок між двома суміжними кварталами. Так, перша ковзна середня (265,2) лежить між кварталами II і III, друга (283,2) - між кварталами III і IV і т.д. Для знаходження зглажуванних рівнів виконується центрування (графа 4). Для III кварталу розраховується середнє значення між першою та другою ковзними середніми: (265,2+283,2)/2=274,2 тис.грн.; для IV кварталу центрується друга та третя ковзні середні: (283,2+292,0)/2=287,6 тис.грн. і т.д.

Недоліком вирівняного ряду методом ковзної середньої є те, що такий ряд "скорочується" порівняно з первинним на (n-1)/2 рівнів ряду з одного та другого кінця (під n розуміють кількість рівнів первинного ряду, з яких визначають ковзні середні).

Використання в аналізі рядів динаміки способу збільшення інтервалів та методу ковзної середньої дозволяє виявити тренд для його опису, але отримати узагальнюючу статистичну оцінку тренду цими підходами неможливо. Вирішення цієї задачі - вимір тренда - досягається методом аналітичного або математичного вирівнювання.

Суть аналітичного вирівнювання динамічних рядів полягає в тому, що фактичні рівні ряду замінюються плавними рівнями, обчисленими на основі певної прямої чи кривої, обраної в припущенні, що вона найточніше відображає загальну тенденцію явища.

В основі методу лежить встановлення функціональної залежності рівнів ряду від часу Y_t = f (t) з використанням кореляційно-регресивного аналізу. При цьому на практиці застосовуються найчастіше математичні функції такого виду:

а) лінійна Y_t = a₀ + a₁t;

б) параболічна Y_t = a₀ + a₁t + a₂t²;

в) гіперболічa Y_t = a₀ + a₁ 1/t;

г) степенева Y_t = a₀ a₁^t

де a₀ , a₁, a₂ — параметри, які знаходяться методом найменших квадратів; t — порядковий номер періоду.

На основі теоретичного аналізу виявляється характер розвитку явища за часом і на цій основі вибирається той чи інший вид аналітичної функції. Практикою статистичних досліджень встановлено, що прийняття тої чи іншої аналітичної функції здійснюється за таких умов, наприклад:

- вирівнювати динамічні ряди за рівнянням прямої лінії
доцільно тоді, коли більш або менш постійні ланцюгові
абсолютні приросту, тобто тоді, коли рівні ряду змінюються
приблизно в арифметичній прогресії;

- вирівнювання динамічних рядів за рівнянням квадратичної параболи необхідно використовувати утих випадках, коли зміна рівнів ряду відбувається з приблизно рівномірним прискоренням або уповільненням ланцюгових абсолютних приростів;

- вирівнювання за ступеневою функцією доцільно -
використовувати тоді, коли рівні ряду динаміки виявляють
тенденцію до сталості ланцюгових темпів зростання, тобто у
випадку зміни рівнів ряду динаміки в геометричній прогресії.

Розрахунок параметрів математичних функцій здійснюється методом найменших квадратів. Він дає можливість знайти ту залежність, яка найближче проходить до точок фактичних даних на графіку в осях координат "t - у", тобто дає найменшу суму квадратів відхилень фактичних , значень результативної ознаки у від вирівняних (теоретичних) значень Y_t:

∑( y - Y_t)² = min

На основі цієї умови отримають систему нормальних рівнянь для розрахунку параметрів а₀ та а₁, де в якості фактора х виступає час t.

Вирівнювання рядів динаміки за методом найменших квадратів, як і вирівнювання за допомогою інших прийомів, має здійснюватись в межах одноякісних періодів. Якщо в динамічному ряду є якісно специфічні періоди, то виявляти тенденцію доцільно в межах кожного з них.

Розрахунок параметрів а₀ та а₁ в рівняннях можна значно спростити, якщо відлік часу t=0 здійснювати з середини динамічного ряду. Тоді значення t, розміщені вище середини, будуть від'ємними, а нижче - додатними. В обох випадках ∑t=0. Для цього рівень, що перебуває в середині ряду динаміки, беруть за умовний початок відліку або нульове значення. Для того, щоб сума показників часу дорівнювала нулю, умовні позначення потрібно давати таким чином: при непарному числі рівнів ряду динаміки, щоб дістати умови ∑t =0, рівень, що перебуває в середині ряду, прирівнюють до нуля, а рівні, розташовані вище його, позначають числами із знаком "мінус" (-1; -2; -3 тощо), а нижче - числами із знаком "плюс" (+1; +2; +3 і т.д.); при парному числі рівнів ряду динаміки рівні, що лежать вище середнього значення (воно перебуває в середині між двома середніми датами), позначають натуральними числами із знаком "мінус" (-1; -3; -5 тощо), а рівні, що лежать нижче середнього значення - натуральними числами із знаком "плюс"(+1;+2;+Зіт.д.)-

За умовою, що ∑t =0, система нормальних рівнянь спрощується, набуваючи у випадку лінійної залежності такого вигляду:

a₀n = ∑y
{
a₁∑t² = ∑yt