Категорії

Дипломні, курсові
на замовлення

Дипломні та курсові
на замовлення

Роботи виконуємо якісно,
без зайвих запитань.

Замовити / взнати ціну Замовити

6.2. Середня арифметична величина: методика розрахунку та властивості

Середня арифметична величина є найбільш поширеним видом середньої. Вона використовується у тому випадку, коли обсяг варіюючої ознаки одержується як сума індивідуальних значень. Середня арифметична величина має таку загальну логічну формулу розрахунку:

.

У тому випадку, коли середня величина визначається на основі індивідуальних, тобто незгрупованих даних, використовується формула середньої арифметичної простої:

                Наприклад, відомий рівень місячної оплати за житлово-комуальні послуги  12 сімей: 286, 378, 183, 295, 363, 280, 276, 292, 358, 265, 275, 373 грн. Середній рівень оплати становить:

                Якщо вихідні дані є результатом групування, тобто відомий дискретний або інтервальний ряд розподілу, використовується формула середньої арифметичної зваженої:

де х – варіанти; f – частоти; m – число груп.

Наприклад, відомий дискретний ряд розподілу пацієнтів за терміном їх госпіталізації у днях:

Число днів госпіталізації (х)

Число пацієнтів (f)

xf

8

2

16

9

5

45

10

9

90

11

12

132

12

10

120

13

11

143

14

8

112

15

5

75

16

1

16

19

1

19

Разом

64

768

У багатьох випадках вихідні дані для визначення середньої арифметичної являють собою інтервальний ряд розподілу. Тоді спочатку інтервальний ряд розподілу перетворюється у дискретний шляхом знаходження середини кожного інтервалу, а далі розрахунок здійснюється як у попередньому випадку за формулою середньої арифметичної зваженої.

Наприклад, відомий ряд розподілу за розміром штрафу:

 

Розмір штрафу, грн.

Число штрафів (f)

Середина інтервалу (х)

xf

До 100

4

50

200

100 – 200

20

150

3000

200 – 400

26

300

7800

400 – 600

15

500

7500

600 – 800

8

700

5600

800 – 1000

3

900

2700

1000 – 2000

2

1500

3000

2000 – 3000

2

2500

5000

Разом

80

х

34800

Середній розмір штрафу:

 

Якщо вихідні дані являють собою результат групування і відомі середні значення показника по кожній групі (групові середні), то розрахунок загальної середньої здійснюється виключно за формулою середньої арифметичної зваженої:

де     - групові середні величини;  –число одиниць у і-тій групі.

Наприклад, групування вкладників за розміром вкладу:

 

Групи за розміром вкладу

Середній розмір вкладу, грн.

Число вкладників, чол.

Невеликий

2300

2130

4899000

Середній

5700

650

3705000

Великий

14200

97

1377400

Разом

х

2877

9981400

Загальна середня дорівнює:

Середня арифметична величина має ряд властивостей, що використовуються при обчисленнях:

При збільшенні або зменшенні кожної частоти в к разів, середня не зміниться.

2. При збільшенні або зменшенні кожної варіанти в к разів середня зміниться в стільки ж разів.

       або  

 

3. При збільшенні або зменшенні кожної варіанти та сталу величину А, середня зміниться на цю  ж величину.

 

 

4. Сума відхилень значень ознаки (варіант) від середньої арифметичної дорівнює нулю:

5. Середня арифметична, що помножена на чисельність сукупності, дорівнює обсягу ознаки.

6. Сума квадратів відхилень варіант від середньої арифметичної є мінімальною величиною із всіх можливих.

Властивість 1 свідчить про те, що середню арифметичну можна визначити як за абсолютними, так і за відносними частотами.

Властивості 2 та 3 використовуються для спрощення підрахунків середньої арифметичної зваженої в інтервальних рядах розподілу (метод «моментів»). Середнє значення при використанні цього методу визначається за формулою:

де:           m1 — момент першого порядку;

                і    — величина інтервалу;

                А  — середина інтервалу з найбільшою частотою.