7.3. Економіко-математична модель міжгалузевого балансу
7.3. Економіко-математична модель міжгалузевого балансу
Як уже зазначалося, основу інформаційного забезпечення моделі МГБ становить технологічна матриця, що містить коефіцієнти прямих матеріальних витрат на виробництво одиниці продукції. Ця матриця є також основою економіко-математичної моделі МГБ.
Припустимо, що для виробництва одиниці продукції в j-й галузі потрібно витратити певний обсяг aij проміжної продукції i-ї
галузі. При цьому значення aij не залежить від обсягу виробництва в цій галузі і є досить стабільним у часі. Величини aij називаються коефіцієнтами прямих матеріальних витрат і обчислюються так:
(7.4)
Означення. Коефіцієнтом прямих матеріальних витрат називається коефіцієнт, який показує скільки продукції i-ї галузі необхідно (якщо враховувати тільки прямі витрати) для виробництва одиниці продукції j-ї галузі.
Узявши до уваги (7.4), систему рівнянь балансу (7.2) можна переписати у вигляді:
. (7.5)
Нехай А = (aij) — матриця коефіцієнтів прямих матеріальних витрат, X — вектор-стовпець валової продукції і Y — вектор-стовпець кінцевої продукції. Тоді система рівнянь (7.5) у матричній формі набирає вигляду:
. (7.6)
Система рівнянь (7.5), або, у матричній формі, (7.6), називається економіко-математичною моделлю міжгалузевого балансу (моделлю Леонтьева, моделлю «витрати— випуск»). За допомогою цієї моделі, позначивши, як завжди, символом Е одиничну матрицю, виконувати три варіанти розрахунків:
задавши в моделі обсяги Хi валової продукції кожної галузі, визначають обсяги Yj кінцевої її продукції: Y = (Е – А)Х;
задавши обсяги Yi кінцевої продукції всіх галузей, знаходять обсяг Xi обсягу валової продукції кожної галузі: Х = (Е – А)–1Y;
задавши обсяги валової продукції для низки галузей, а для решти галузей — обсяги кінцевої продукції, відшукують обсяги кінцевої продукції перших галузей і обсяги валової продукції других (у цьому варіанті зручніше користатися не матричною формою моделі (7.6), а системою лінійних рівнянь (7.5)).
У наведених співвідношеннях (Е – А)–1 — матриця, обернена до матриці (Е – А). Якщо визначник матриці (Е – А) не дорівнює нулю, тобто ця матриця невироджена, то обернена до неї матриця існує. Позначивши цю обернену матрицю через Y = (Е – А)–1, можна систему рівнянь у матричній формі (7.6) подати у вигляді Х = ВY.
Нехай bij — елементи матриці В. Тоді з матричного рівняння для будь-якої i-ї галузі можна дістати таке співвідношення:
. (7.7)
Із (7.7) випливає, що обсяг валової продукції виступає як зважена сума обсягів кінцевої продукції, причому вагами є коефіцієнти bij, що показують, скільки всього потрібно виготовити продукції i-ї галузі, щоб у сферу кінцевого використання надійшла одиниця продукції j-ї галузі. На відміну від коефіцієнтів aij прямих витрат коефіцієнти bij називаються коефіцієнтами повних матеріальних витрат і охоплюють як прямі, так і непрямі витрати всіх порядків. Якщо прямі витрати відбивають кількість засобів виробництва, витрачених безпосередньо під час виготовлення певного продукту, то непрямі стосуються попередніх стадій виробництва і входять у виробництво продукту опосередковано через інші (проміжні) засоби виробництва.
Означення. Коефіцієнтом повних матеріальних витрат bij називається коефіцієнт, який показує скільки продукції i-ї галузі потрібно виробити, щоб з урахуванням прямих і непрямих її
витрат одержати одиницю кінцевої продукції j-ї галузі.
Коефіцієнти повних матеріальних витрат застосовують, щоб з’ясувати, як позначиться на валовому випуску деякої галузі передбачувана зміна обсягів кінцевої продукції всіх галузей:
,
де ΔXi, ΔYj — зміна (приріст) обсягу відповідно валової і кінцевої продукції.
Переходячи до аналізу моделі МГБ, розглянемо передусім основні властивості матриці А коефіцієнтів прямих матеріальних витрат. Коефіцієнти прямих витрат за означенням є невід’ємними. Окрім цього, оскільки відтворення було б неможливим, коли б для власного відтворення в галузі витрачалося більше продукту, ніж створювалося, то діагональні елементи матриці А, очевидно, менші за одиницю: aij < 1.
Система рівнянь міжгалузевого балансу відбиває реальні економічні процеси, в яких сенс можуть мати лише невід’ємні значення валових випусків. Отже, вектор валової продукції складається з невід’ємних компонентів, тобто є невід’ємним: X ≥ 0.
Постає запитання: за яких умов економічна система здатна забезпечити додатний кінцевий випуск за всіма галузями? Відповідь на це запитання пов’язана з поняттям продуктивності матриці коефіцієнтів прямих матеріальних витрат.
Називатимемо невід’ємну матрицю А продуктивною, якщо існує невід’ємний вектор X ≥ 0, такий що
(7.8)
Умова (7.8) означає, очевидно, існування додатного вектора кінцевої продукції Y для моделі МГБ (7.6).
Для того щоб матриця коефіцієнтів прямих матеріальних витрат А була продуктивною, необхідно і достатньо, щоб виконувалась одна з наведених далі умов:
1) існує невід’ємна матриця (Е – А)–1 ≥ 0;
2) матричний ряд
збіжний, причому його сума дорівнює матриці (Е – А)–1;
3) найбільше за модулем власне значення матриці А, тобто розв’язок характеристичного рівняння |А – λЕ| = 0, строго менше
від одиниці;
4) усі головні мінори матриці (Е – А), тобто визначники матриць, утворені елементами перших рядків і перших стовпців цієї матриці, порядку від 1 до n, додатні.
Простішою, але тільки достатньою ознакою продуктивності матриці А є обмеження на її норму, тобто на значення найбільшої із сум елементів матриці А в кожному стовпці. Якщо норма матриці А строго менша за одиницю, то ця матриця продуктивна. Ще раз наголосимо, що ця умова є тільки достатньою, і матриця А може бути продуктивною і тоді, коли її норма більша за одиницю.
Найбільший за модулем корінь характеристичного рівняння, наведеного в умові 3 продуктивності матриці А (позначимо його через λ*), може бути оцінкою загального рівня коефіцієнтів прямих матеріальних витрат, а отже, значення (1 – λ*) характеризує залишок після витрат, тобто продуктивність. Чим більше (1 – λ*), тим більші можливості досягти ще й інших цілей, крім поточного виробничого споживання. Це означає, що вищий загальний рівень коефіцієнтів матриці А, тим більше найбільше за модулем власне значення λ* і тим нижчий рівень продуктивності, та навпаки: чим нижчий загальний рівень коефіцієнтів матриці А, тим менше найбільше за модулем власне значення і тим вища продуктивність.
Проаналізуємо матрицю коефіцієнтів повних матеріальних витрат, тобто матрицю В = (Е – А)–1. Коефіцієнт цієї матриці показує, скільки всього потрібно виробити продукції i-й галузі, щоб одержати одиницю кінцевої продукції j-ї галузі.
Наведемо ще одне визначення коефіцієнта повних матеріальних витрат, узявши до уваги, що крім прямих витрат існують непрямі виробничі витрати під час виготовлення тієї чи іншої продукції будь-якої галузі. Розглянемо, наприклад формування витрат електроенергії на випуск сталевого прокату, обмежившись технологічним ланцюжком «руда — чавун — сталь — прокат». Витрати елек-
троенергії, що супроводжують виплавлення прокату зі сталі, називатимуться прямими витратами. Відповідні витрати в разі виплавлення сталі з чавуну дістануть назву непрямих витрат 1-го порядку, а витрати електроенергії, необхідні для одержання чавуну з руди, — непрямих витрат 2-го порядку і т. д. Отже, можна навести таке означення:
Означення. Коефіцієнтом повних матеріальних витрат сij називається сума прямих і непрямих витрат продукції i-ї галузі для виробництва одиниці продукції j-ї галузі з урахуванням усіх проміжних продуктів на всіх попередніх стадіях виробництва.
Нехай 
— коефіцієнт непрямих матеріальних витрат k-го порядку. Тоді виконується формула
,
або, у матричному вигляді:
.
Згідно зі змістом коефіцієнтів непрямих матеріальних витрат запишемо матричні співвідношення:
,
скориставшись якими матричну формулу можна подати у вигляді
.
Якщо матриця А коефіцієнтів прямих матеріальних витрат є продуктивною, то з умови 2 продуктивності випливає існування матриці В = (Е – А)–1, що є сумою збіжного матричного ряду:
.
Порівнюючи два останні співвідношення, встановлюємо такий зв’язок між двома матрицями коефіцієнтів повних матеріальних витрат: B = Е + C, або, у поелементному запису:
Цей зв’язок визначає економічний зміст розбіжності між коефіцієнтами матриць B і С: на відміну від коефіцієнтів матриці С, що враховують тільки витрати на виробництво продукції, коефіцієнти матриці В крім витрат містять також саму одиницю кінцевої продукції, що виходить за сферу виробництва.
До найважливіших аналітичних можливостей моделей МГБ належить визначення векторів кінцевої та валової продукції. Різні модифікації розглянутої щойно моделі МГБ виробництва й розподілу продукції в економіці дають змогу розширити коло показників, охоплюваних моделлю. МГБ застосовують, наприклад, аналізуючи такі важливі економічні показники, як праця, фонди, оптові та споживчі ціни тощо. Зокрема, за допомогою МГБ на основі прямих і повних витрат праці на одиницю продукції можна побудувати балансові продуктово-трудові моделі, в яких вихідною моделлю є звітний міжпродуктовий баланс у натуральному виразі.
Контрольні запитання та завдання
Що таке виробнича функція?
Доведіть, що ВФ Коба—Дугласа є неокласичною.
За реальними статистичними даними (офіційні статистичні видання та інформація в мережі Інтернет) побудуйте ВФ Коба—Дугласа для України, Росії та США.
Наведіть принципову схему міжгалузевого балансу виробництва і розподілу сукупного суспільного продукту у вартісному вираженні.
Доведіть необхідні і достатні умови продуктивності матриці прямих матеріальних витрат А моделі МГБ.
Наведіть приклади застосування балансових моделей в економіці.