11.1. Регулятори зворотного зв’язку
11.1. Регулятори зворотного зв’язку
Під автоматичним регулюванням розуміють управління штучними системами, здійснюване без безпосередньої участі людини. Проте за такого типу управління людина може входити до контуру управління, виконуючи координаційні функції диспетчера або оператора за допомогою сучасних засобів обробки інформації.
Розглянемо найпростішу модель автоматичного регулювання, що складається з двох систем — об’єкта регулювання S і регулятора R (рис. 11.1). Ця система регулювання пов’язана з навколишнім середовищем тільки за допомогою входів і виходів і є порівняно відособленою системою. Якщо система має один вхід і один вихід, то їхній стан у кожний момент часу можна позначити відповідно x Î X, y Î Y. Це можуть бути як скалярні, так і векторні величини.
Рис. 11.1. Зворотний зв’язок у системі регулювання
У наведеній схемі процес регулювання ґрунтується на використанні зворотного зв’язку: регульована система S впливає на регулятор R, а він, у свою чергу, впливає на регульовану систему.
Схема автоматичного регулювання являє собою замкнене кільце, яке називається контуром регулювання. Коли разом із замкненим контуром розглядається і задавальний блок, який не входить у замкнений ланцюг, але коригує параметри регулювання, то говорять про управління. Отже, поняття управління, як уже зазначалося, ширше за поняття регулювання.
Розглянемо алгоритм функціонування системи автоматичного регулювання. У системі S відбувається перетворення вхідної величини x на вихідну величину y. Позначимо оператор цього перетворення через S: y = Sx.
Стан виходу Y регульованої системи подається на вхід регулятора R, що перетворює його на стан свого виходу Dx. Позначивши через R оператор перетворення, здійснюваного в регуляторі, дістанемо Dx = Ry. Стан виходу регулятора додається до значення стану входу x системи S. Остаточно стан входу системи S буде x + Dx. Отже, відхилення на вході системи S залежатимуть від стану її виходу y.
Нехай задача регулювання полягає у стабілізації вихідної величини системи. Позначимо через y0 бажаний стан виходу регульованої системи. Відповідне настроювання регулятора R полягає в тому, щоб величина Dx викликала вирівнювання відхилення стану виходу y від заданого значення y0 і в такий спосіб наближала стан виходу системи до заданого, тобто до y = y0.
Припустимо, що оператори перетворень, здійснюваних системою S та регулятором, є операторами пропорційності. Тоді у перетвореннях y = Sx і Dx = Ry символи S і R будуть числами — коефіцієнтами пропорційності. Якщо R < 1, то регулятор послаблюватиме сигнал, а якщо R > 1, то підсилюватиме. У разі, якщо величини y і x є скалярами, S = y / x і R = Dx / y називаються відповідно пропускною здатністю системи і регулятора.
Отже, додавши поправку Dx = Ry на вхід системи, дістанемо такий остаточний стан виходу регульованої системи:
.
Звідси випливає основна формула теорії автоматичного регулювання:
Співмножник (1 / 1 – SR) відбиває зворотний зв’язок у системі регулювання і називається мультиплікатором. Вираз (S / 1 – SR) називають пропускною здатністю системи регулювання.
Іноді формулу регулювання наводять у такому вигляді:
Пропускна здатність регулятора R позначається тоді зі знаком «мінус» для того, щоб звернути увагу на протилежний напрям зв’язку регулятора із системою. Крім того, у системах автоматичного регулювання використовується від’ємний зворотний зв’язок.
Отже, формула теорії регулювання відбиває зв’язок між станом виходу і входу регульованої системи з урахуванням поправки, що її вводить регулятор R. Ця формула дає змогу визначити, яким має бути стан входу (рівень настроювання), щоб при даних значеннях S і R можна було дістати бажаний результат.
Економічна інтерпретація основної формули теорії автоматичного управління (ТАУ). Розглянемо як приклад мультиплікатор Кейнса. Можна побачити, що мультиплікатор зворотного зв’язку (1 / 1 – SR) за своїм виглядом нагадує мультиплікатор Кейнса. Покажемо, що мультиплікатор Кейнса і справді можна розглядати як особливий випадок мультиплікатора зворотного зв’язку.
Згідно з кейнсіанською теорією національний дохід Y розглядається як загальна сума чистих (після відшкодування зносу засобів виробництва) виплат в економіці та складається з двох доданків: виплат А, призначених на інвестиції, та виплат С, що йдуть на закупівлю споживчих благ. Другий доданок вважається лінійною функцією від національного доходу, тобто С = сY, де c — коефіцієнт споживання, який задовольняє умову 0 < с < 1. Це означає, що не весь національний дохід витрачається на споживання.
Отже маємо:
звідки
,
де величина (1 / 1 – с) — так званий мультиплікатор Кейнса.
Подібність між основною формулою теорії регулювання та цією формулою дає підстави для іншого тлумачення мультиплікатора Кейнса.
Нехай маємо деяку систему, в яку здійснюють певні капіталовкладення — їх називають незалежними або автономними капіталовкладеннями — що вимірюються величиною х = А. Пропускна здатність цієї системи становить S = 1. Це означає, що капіталовкладення A тягнуть за собою витрати, що їм дорівнюють. Ця система має зворотний зв’язок із регулятором, пропускна здатність якого є R = c. Після того як регулятор вніс поправку, сумарний вплив на першу систему буде Y = A + c. У підсумку дістанемо систему регулювання, описану в підрозд. 9.5, причому пропускна здатність регульованої системи в цьому разі дорівнює 1, а пропускна здатність регулятора — с.
Зі сказаного випливає, що дія описаної системи регулювання ідентична дії системи без зворотного зв’язку з пропускною здатністю (1 / 1 – с), яка дорівнює мультиплікатору Кейнса.
Розглянемо далі, яке практичне застосування може мати основна формула регулювання в економіці. По-перше, усю систему регулювання, що складається з регульованої системи S і регулятора R, можна замінити єдиною системою з пропускною здатністю
(S / 1 – SR). По-друге, на підставі основної формули автоматичного регулювання можна зробити деякі розрахунки.
Якщо стан виходу системи у має задане значення z, то значення входу х (рівень настроювання системи регулювання) має становити
.
Для системи, пропускна здатність якої дорівнює мультиплікатору Кейнса, а стан входу є обсягом капіталовкладень А, ця формула набирає вигляду
А = (1 – с) z.
Тоді можна виконати наступний розрахунок. Припустимо, що Р є чистою продукцією, якій відповідає зайнятість ар, де а — коефіцієнт трудомісткості чистої продукції. Якщо N0 — кількість людей, яких необхідно забезпечити роботою, то обсяг чистої продукції становитиме Р0 = N0 / a. Для реалізації такого обсягу чистої продукції національний дохід має дорівнювати Р0, тобто Y = P0.
Отже, задане значення Y буде z = P0. Звідси дістаємо:
А = (1 – z)Р0 .
Це означає, що обсяг капіталовкладень має бути пропорційним до заданого обсягу чистої продукції, причому коефіцієнт пропорційності дорівнює 1 – с.
Можна також визначити пропускну здатність регулятора R, яка потрібна для того, щоб за даної пропускної здатності регульованої системи S і заданого рівня настроювання х досягти заданого значення y = z. За цих умов пропускна здатність системи регулювання визначається формулою:
Якщо пропускна здатність системи регулювання дорівнює
мультиплікатору Кейнса і рівень настроювання дорівнює обсягу капіталовкладень А, то
Цей вираз можна застосувати до розв’язання такої економічної задачі.
Задано обсяг капіталовкладень А0 та стан виходу z = Y = Р0, що забезпечує зайнятість населення на рівні N0. Необхідно знайти значення коефіцієнта споживання с, тобто визначити, яку частину доходів населення потрібно спрямувати на споживання, щоб ця задача могла бути розв’язаною.
Підставляючи відповідні значення, дістаємо:
Ця формула визначає пропускну здатність регулятора, що перетворює дохід на споживчі витрати. Якщо пропускна здатність регулятора відповідає цій величині, тобто якщо є можливість вплинути на розподіл доходу таким чином, щоб коефіцієнт споживання с набув значення, зумовленого щойно наведеною формулою, то дана вище задача має розв’язок.
Задане значення z за даного рівня настроювання х забезпечується в тому разі, якщо пропускна здатність регулятора прямо пропорційна до відхилення (збурювання) z – Sx, що виникло б за відсутності регулятора та обернено пропорційно до Sz, тобто до рівня настроювання, що був би необхідний за відсутності регулятора.
Для розглянутої економічної задачі, як з’ясовується, коефіцієнт споживання має бути прямо пропорційним до різниці між обсягом чистої продукції, що відповідає заданому рівню зайнятості, і заданим обсягом капіталовкладень та обернено пропорційним до обсягу чистої продукції.