14.2. Основні поняття теорії складних систем
14.2. Основні поняття теорії складних систем
Відкриті системи та дисипативні структури. Синергетика вивчає відкриті нерівноважні системи. Нагадаємо, що відкрита система — це система, що обмінюється речовиною, енергією й інформацією з навколишнім середовищем.
Розглянемо властивості відкритих систем, що перебувають далеко від стану рівноваги.
Такі системи нестійкі, і тому повернення до початкового стану для них є необов’язковим. У деякій точці, що називається точкою біфуркації (розгалуження), поводження системи стає неоднозначним.
За наявності нестійкості змінюється роль зовнішніх впливів. За певних умов незначний вплив на відкриту систему може призвести до значних та непередбачуваних наслідків.
У відкритих системах, далеких від рівноваги, виникають ефекти узгодження, коли елементи системи корелюють, узгоджують своє поводження. Таке кооперативне, погоджене поводження характерне для систем різних типів: атомів та молекул, клітин та живих істот, економічних об’єктів та соціальних груп тощо.
У результаті погодженої взаємодії відбуваються процеси впорядкування, виникнення з хаосу певних структур, перетворення й ускладнення систем. Чим більше відхилення від стану рівноваги, тим сильніше охоплення кореляціями та взаємозв’язками, тим вища узгодженість процесів, що відбуваються навіть у віддалених областях і, на перший погляд, не зв’язані один з одним.
Відкриті системи, в яких спостерігається приріст ентропії, називають дисипативними. У дисипативних системах енергія впорядкованого руху переходить в енергію невпорядкованого (хаотичного) руху, тобто відбувається дисипація. Якщо закриту систему виведено зі стану рівноваги, то вона завжди намагається набути стану з максимальною ентропіє. У відкритій системі відплив ентропії може врівноважити її зростання в самій системі, і тому існує ймовірність виникнення стаціонарного стану.
Якщо ж відплив ентропії перевищує її внутрішнє зростання, то виникають і розростаються до макроскопічного рівня великомасштабні флуктуації, а за певних умов у системі починають відбуватися самоорганізаційні процеси, спрямовані на створення впорядкованих структур.
Отже, у відкритих системах, що обмінюються з навколишнім середовищем потоками речовини чи енергією, однорідний стан рівноваги може втрачати стійкість і незворотно переходити у стаціонарний стан, стійкий щодо малих збурень Такі стаціонарні стани дістали назву дисипативних структур.
Термін «дисипативна структура» запропонував І. Пригожин, засновник «бельгійської школи» синергетики, яка розвиває термодинамічний підхід до самоорганізації. Основне поняття синергетики Хакена — поняття структури як стану, що виникає в результаті когерентного (погодженого) поводження великої кількості частин, — бельгійська школа замінює більш спеціальним поняттям дисипативної структури.
Виникнення дисипативних структур має граничний характер. Нерівноважна термодинаміка пов’язала граничний характер із нестійкістю, довівши, що нова структура завжди є результатом розкриття нестійкості внаслідок флуктуацій. Отже, ідеться про «порядок через флуктуації».
Таким чином, дисипативні структури є результатом розвитку власних внутрішніх нестійкостей у системі. А процеси самоорганізації можливі, коли відбувається обмін енергією і масою з навколишнім середовищем, тобто підтримується стан поточної рівноваги, причому втрати на дисипацію компенсуються ззовні.
Хаос і порядок. Поняття «порядок» тісно пов’язане з поняттям структури. Іншими словами, порядок передбачає наявність певної структури — ключового поняття для всіх наук, що вивчають ті чи інші аспекти процесів самоорганізації. Отже, структура припускає певну «жорсткість» об’єкта — здатність зберігати тотожність самому собі за різних зовнішніх і внутрішніх змін.
Інтуїтивно поняття структури протиставляється поняттю хаосу як стану, що цілком позбавлений будь-якої структури. Однак, як свідчать новітні дослідження, таке уявлення про хаос є настільки ж поверховим, наскільки поверховим є уявлення про фізич-
ний вакуум у теорії поля як про порожнечу: хаос може бути різним, мати різний ступінь упорядкованості, різну структуру тощо.
Тому в синергетиці під хаосом розуміють нерегулярний рух, що описується детерміністичними рівняннями. Його ще називають динамічним хаосом. Дослідження різних сценаріїв переходу до динамічного хаосу пов’язане з аналізом властивостей так званих дивних атракторів.
Атрактори. Вивчаючи динаміку систем, їх часто описують системою диференціальних рівнянь. Зображення розв’язків цих рівнянь як руху деякої точки у просторі з розмірністю, яка дорівює кількості змінних, називають фазовими траєкторіями си-
стеми. Аналіз поводження фазової траєкторії (у сенсі її стійкості) показує, що існують випадки, коли всі розв’язки системи зосереджуються зрештою на деякій замкненій підмножині. Така підмножина називається атрактором (від англ. «to attract» — притягувати).
Атрактор має певну «область притягання» (множину початкових точок). Із часом усі фазові траєкторії , що зародилися у множині початкових точок, тяжіють (намагаються збігтися) саме до цього атрактора. Рух точки в таких випадках має періодичний характер.
Основні типи атракторів такі:
стійкі граничні точки;
стійкі цикли (траєкторія тяжіє до деякої замкненої кривої);
тори (до поверхні яких наближається траєкторія).
Нехай, наприклад, точка, рухаючись у фазовому просторі, залишає за собою слід, тоді динамічному хаосу відповідає клубок траєкторій, зображений на рис. 14.1.
Рис. 14.1. Зображення дивного атрактора
у тривимірному фазовому просторі
Для сталих коливань, що відповідають динамічному хаосу, запропоновано назву дивний атрактор. Рух точки на таких атракторах є нестійким, хистким, будь-які дві траєкторії на них завжди розбігаються, мала зміна початкових умов приводить до різних шляхів розвитку. Іншими словами, динаміка систем із дивними атракторами є хаотичною.
Ці атрактори дістали таку назву, бо вони у фазовому просторі справді виглядають незвично, являючи собою ні точку, ні періодичну траєкторію, ні поверхню. Їх порівнюють іноді з поверхнею, що складається з нескінченної множини шарів. А головне полягає в тому, що взятий навмання розв’язок блукатиме в дивному атракторі і через значний проміжок часу пройде досить близько до будь-якої його точки. Тут дуже високий ступінь чутливості до початкових умов.
Приклад. Розглянемо атрактор Лоренца. Американський метеоролог Е. Лоренц виявив складне поводження порівняно простої динамічної системи, що складається з трьох звичайних нелінійних диференціальних рівнянь першого порядку й описує конвекцію повітря:
де s, r, b — деякі параметри.
При певних значеннях параметрів траєкторія системи поводилася настільки химерно, що здавалась випадковою та хаотичною.
Комп’ютерний аналіз системи Лоренца привів до принципового результату: з переходом до режиму динамічного хаосу, тобто неперіодичного руху в детермінованих системах, де майбутнє однозначно визначається минулим, горизонт прогнозування поводження системи стає обмеженим. Річ у тім, що коли ми знову візьмемо дві близькі траєкторії, то вони розбігаються.
Швидкість розбігання визначається так званим показником Ляпунова, і від цієї величини залежить інтервал часу, на який можна подати прогноз. При цьому для кожної системи існує свій горизонт прогнозу.
Унікальною властивістю дивних атракторів є масштабна самоповторюваність. Це означає, що, збільшуючи ділянку атрактора, яка містить нескінченну кількість кривих, переконуємося: атрактор на ній подібний до великомасштабного подання його частини. Об’єкти, що мають здатність нескінченно повторювати власну структуру на мікрорівні, дістали спеціальну назву — фрактали.
Фрактали. Властивість об’єктів виглядати в кожному як завгодно малому масштабі приблизно однаково називають масштабною інваріантістю, а множини, що мають цю властивість, — фракталами (від англ. «fractal» — дробовий, неповний, частковий). Фрактали — це геометричні об’єкти з так званою дробовою розмірністю. Дивний атрактор Лоренца — один із таких фракталів.
Часто вважають, що розмірність об’єкта (тіла, поверхні, чи кривої) є його внутрішньою характеристикою. Але засновник фрактальної геометрії Б. Мандельброт звернув увагу на те, що розмірність об’єкта може залежати від спостерігача, точніше від зв’язку об’єкта із зовнішнім світом.
Приклад. Уявімо, що ми розглядаємо клубок ниток. Коли відстань, що відокремлює нас від клубка, досить велика, ми бачимо клубок як точку, позбавлену будь-якої внутрішньої структури, тобто геометричний об’єкт з евклідовою (інтуїтивно сприйманою) розмірністю 0.
Наблизившись до клубка на деяку відстань, ми бачитимемо його як плоский диск, тобто як геометричний об’єкт розмірності 2. Наблизившись до клубка ще на кілька кроків, ми побачимо його у вигляді кульки, але не зможемо розрізнити окремі нитки — клубок стане геометричним об’єктом розмірності 3. З подальшим наближенням до клубка ми побачимо, що він складається з ниток, тобто евклідова розмірність клубка стане такою, що дорівнює 1. Нарешті, якби наші очі розрізняли окремі атоми, то, проникнувши всередину нитки, ми побачили б окремі точки — клубок розсипався б на атоми, став геометричним об’єктом розмірності 0.
Процес побудови фрактала ілюструє рис. 14.2.
Рис. 14.2. Приклад побудови фрактала — крижинки Коха
Мандельброт запропонував за міру «нерегулярності» (зрізаності, звивистості) взяти розмірність Безиковича—Хаусдорфа. Ця розмірність завжди не менша за евклідову і збігається з нею для регулярних геометричних об’єктів (кривих, поверхонь і тіл, досліджуваних у евклідовій геометрії).
Розглянемо ідею, яку покладено в основу обчислення зазначеної розмірності. Поділимо відрізок прямої на N рівних частин. Тоді кожну частину можна вважати копією всього відрізка, зменшеною в r раз. Очевидно, що N та r пов’язані між собою спів-
відношенням Nr = 1. Якщо квадрат розбити на N рівних квадратів з площею, у 1/r2 раз меншою за його площу, то аналогічне співвідношення запишеться у вигляді Nr2 = 1. А коли куб розбити на N рівних кубів, об’єм яких у 1/r3 раз менший за його об’єм, то відповідне співвідношення набере вигляду Nr3 = 1. У загальному випадку можемо записати:
Nrd = 1, (14.1)
де d — розмірність об’єкта; N — кількість рівних підоб’єктів, на яку поділено вихідний об’єкт з коефіцієнтом подібності r.
Якщо деякий вихідний об’єкт (множину) можна розбити на N неперетинних підоб’єктів (підмножин), утворених масштабуванням оригіналу з коефіцієнтом подібності r, і d буде дробовим числом, то такий об’єкт (множину) називають самоподібним фракталом, а величину d — фрактальною розмірністю, явний вигляд якої знаходимо логарифмуванням обох частин виразу (14.1):
. (14.2)
Різниця між розмірністю Безиковича—Хаусдорфа та Евкліда — «надлишок розмірності» — може бути мірою відмінності геометричних образів від регулярних. Наприклад, плоска траєкторія руху броунівської частинки має розмірність, більшу від 1, але менше від 2: ця траєкторія вже не звичайна гладка крива, але ще не плоска фігура. Розмірність Безиковича—Хаусдорфа дивного атрактора Лоренца більша за 2, але менша за 3: атрактор Лорен-
ца вже не гладка поверхня, але ще не об’ємне тіло.
Багато природних об’єктів є фракталами (наприклад, берегові смуги, хмари, крижинки, дерева, скелі, нервова та кровоносна системи тварин і людини і т. ін.). На перший погляд може здатися, що теорія фракталів має суто теоретичну цінність і зовсім не стосується дослідження реальних економічних об’єктів. Проте насправді часові ряди багатьох фінансово-економічних показників (валютних курсів, курсів акцій) мають фрактальну структуру, і тому з метою їх дослідження можна використовувати апарат фрактального аналізу, зокрема R/S аналіз, який базується на обчисленні статистики Херста, що є мірою випадковості часового ряду (див. наступну тему).
Точки біфуркації. Динамічні системи, як правило, повільно змінюють характер свого поводження внаслідок незначної зміни внутрішніх або зовнішніх параметрів. Однак можуть існувати такі критичні значення параметрів, при яких система зазнає якісної перебудови і, відповідно, різко змінюється динаміка системи, наприклад втрачається її стійкість. Такі критичні значення параметрів називаються точками біфуркації.
Втрата стійкості відбувається, як правило, переходом від точки стійкості до стійкого циклу (м’яка втрата стійкості), виходом траєкторії зі стійкого стану (жорстка втрата стійкості), народженням циклів із подвоєним періодом тощо. З подальшою зміною параметрів можливе виникнення у фазовому просторі таких топологічних структур, як тор, а далі — дивних атракторів, тобто хаотичних процесів.
Поводження всіх систем, що самоорганізуються, у точках біфуркації характеризується загальними закономірностями. Розглянемо найважливіші з них.
Точки біфуркації часто провокуються зміною управляючих параметрів або підсистеми управління, що веде систему до нового стану.
Потенційних траєкторій розвитку системи багато, і тому точно спрогнозувати, до якого стану перейде система після прохо-
дження точки біфуркації, неможливо. Це пояснюється тим, що вплив середовища має випадковий характер.
Вибір траєкторії розвитку може бути також пов’язаний з життєздатністю і стійким типом поводження системи. Відповідно до принципу стійкості серед можливих форм розвитку реалізуються лише стійкі, а хисткі якщо й виникають, то швидко руйнуються.
Підвищення розмірності та складності системи спричинюється до збільшення кількості станів, за яких може відбуватися стрибок (катастрофа), і кількості можливих шляхів розвитку, тобто чим різнорідніші елементи системи і складніші її зв’язки, тим вона хисткіша.
Чим більше система нерівноважна, тим більшу кількість можливих шляхів розвитку вона може вибирати в точці біфуркації.
Два близькі стани можуть породити зовсім різні траєкторії розвитку.
Однакові траєкторії розвитку можуть реалізовуватися неодноразово. Наприклад, серед соціальних систем є суспільства, що багаторазово обирали тоталітарні сценарії розвитку.
Часова межа катастрофи визначається «принципом максимального зволікання»: система робить стрибок тільки тоді, коли в неї немає іншого вибору.
У результаті розгалуження (біфуркації) виникають граничні цикли — періодичні траєкторії у фазовому просторі, кількість яких тим більша, чим більш структурно хисткою є система.
Катастрофа змінює організованість системи, причому не завжди в бік збільшення.
Отже, у процесі руху від однієї точки біфуркації до іншої відбувається розвиток системи. У кожній точці біфуркації система вибирає шлях розвитку, траєкторію свого руху.
У точці біфуркації відбувається катастрофа — перехід системи від області притягання одного атрактора до іншого. Як атрактор може виступати і стан рівноваги, і граничний цикл, і дивний атрактор (хаос). Систему притягає один із атракторів і вона в точці бі-
фуркації може стати хаотичною і зруйнуватися, перейти до стану рівноваги або вибрати шлях формування нової впорядкованості.
Якщо система притягається станом рівноваги, вона стає закритою і до чергової точки біфуркації живе за законами, властивими закритим системам. Якщо хаос, породжений точкою біфуркації, затягнеться, стане можливим руйнування системи, внаслідок чого її компоненти рано чи пізно ввійдуть як складові до іншої системи і притягатимуться вже її атракторами. Якщо, нарешті, як у третьому випадку, система притягається яким-небудь атрактором відкритості, то формується нова дисипативна структура — новий тип динамічного стану системи, за допомогою якого вона пристосовується до умов навколишнього середовища, що змінилися.