3.1.4. Мереологія

Іншим важливим наслідком критичного прочитання "Принципів математики" Уайтхеда і Рассела було дослідження антиномії множини множин, що не є власними елементами. Леснєвський запозичує у Рассела саму ідею типу, створивши свою ієрархію суто синтаксичних категорій. Антиномія Рассела ліквідовується забороною приписувати предметам властивості, які належать різним рівням ієрархії логічних типів. З формальної точки зору, вважає Леснєвський, теорія типів Рассела є складним витвором і викликає інтерпретаційний різнобій, оскільки з різних висловів Рассела можна зробити висновок, що його теорія, з одного боку, є онтологічною, оскільки розділяє предмети на типи, а з іншого - теорією семантичною, бо ділить самі вирази на типи. Цей гібридний "онтологічно-семантичний характер" теорії типів не відповідав намірам Леснєвського. В результаті критичного аналізу теорії типів він розділив їх синтаксичну складову, втілену в ієрархії категорій, головно Прототетики, і предметну, яка стала ядром Мереології.

Предметні категорії мали допоміжний характер і їх склад мінявся від однієї аксіоматики Мереології до іншої. Прагнення побудувати "загальну теорію множин" аксіоматично підштовхнуло Леснєвського прийняти єдину невизначену предметну категорію "частина", тоді як інші, наприклад, інгредієнс, елемент, клас і т.п. вводилися визначеннями. Синтаксичні ж категорії носять виключно лінгвістичний характер, тобто торкаються виключно виразів, а не предметів. Леснєвський ([1929], S.14) називає джерела, які сформували його погляд на синтаксичні категорії, названі зрештою, "семантичними категоріями"; серед них теорія типів Рассела, теорія категорій Аристотеля, а також теорія значень Гуссерля. Теорія семантичних категорій є природним узагальненням граматичної класифікації виразів на частини мови. Згідно з концепцією Леснєвського кожний вираз, що розуміється як кінцева послідовність інскрипцій, належить до однієї і лише однієї семантичної категорії; жоден конкретний запис не може належати до двох різних категорій. У формалізмі Леснєвського система категорій утворює нескінченну ієрархію і може бути нескінченно розширена. Основними категоріями Прототетики і Онтології є три категорії: речення, імена і різні функтори; категорія імен монолітна і не містить відмінностей між іменами одиничними (індивідуальними) і загальними.

Певною мірою Мереологія може розглядатися як продовження критики теорії загальних предметів Твардовського, а особливо Мейнонга в ранньому періоді творчості Леснєвського. Початковим пунктом у конструюванні "загальної теорії множин", названій в подальших варіантах Мереологією, була позиція незгоди з "інтуїцією "більшості"", на думку якої існують якісь два відмінні один від одного предмети такі, що один з цих предметів є множиною, що містить другий з них як свій єдиний елемент". ([1928], S.262) Сумнів Леснєвського викликаний самим існуванням предмету, названого множиною, що і становило його інтуїтивне уявлення про множини, причому такий предмет як множина повинен існувати реально, бо порожніх множин Мереологія не допускає. Кінець кінцем, подібні перевірки існування повинні проводитися за допомогою речень виду "А є b", а вони ведуть за допомогою процесу перейменування ad infinitum, причому у бік, зворотній процесу редукції "A" до b, існування якого, тобто "b" єдино і може перевірятися. Оскільки завданням Леснєвського був аксіоматичний опис предмету, названого множиною, класом, агрегатом і т.п., і при цьому ім'я такого класу повинне вживатися, а не згадуватися, то формулювання аксіом за допомогою виразів типу <"А" є b> викликає певні труднощі. Звернемося спочатку до присудка таких речень і відзначимо, що модус використовування присудка актуалізується різними термінами, які використовуються часто як невизначувані, наприклад, множина, предмет, а іноді - як визначувані, наприклад, інгредієнс, елемент, що побічно свідчить про їх існування. Наведемо як приклад аксіоматику "Основ загальної теорії множин. I" (Москва, 1916):

Аксіома I. Якщо P є частина предмету Q, то Q не є частина предмету P.

Аксіома II. Якщо P є частина предмету Q, а також Q є частина предмету R, то P є частина предмету R.

Дефініція I. P є інгредієнс предмету Q тоді і тільки тоді, коли P є тим же предметом, що Q, або є частиною Q.

Дефініція II. P є клас предметів а тоді і тільки тоді, коли виконані наступні умови: а) P є предмет; b) кожне а є інгредієнс предмету P; с) для будь-якого Q, якщо Q не є інгредієнс предмету P, то деякий інгредієнс предмету Q є інгредієнс деякого а.

Аксіома III. Якщо P є клас предметів а, а також Q є клас предметів а, то P є Q.

Аксіома IV. Якщо деякий предмет є а, то деякий предмет є клас предметів а.

З багатьох аксіоматик Мереології, які побачили світ протягом 1916-1930 рр. жодна не виявилася формалізованою, як здається, унаслідок різнорідності модусів термінів, що використовуються в "одиничних реченнях" виду <"A" є b>. Саме з цієї причини для досягнення мети Мереології, тобто представлення терміну для суб'єкта номінального судження у функції вживання його доводиться переміщати на місце присудка з використанням вказаного вище прийому актуалізації. Коротше кажучи, схема <"A" ¬ b> неявно доповнюється схемою <"A" ¬ а> у вигляді формулювань, скоюваних по схемі "$X (X є а).[1] Однак легко бачити, що прийняття Леснєвським позначень підмета "А" і присудка "а" в послідовності перейменувань не "стикуються". Більше того, з прочитання праці, присвяченій Мереології, може виникнути враження, що насправді "одиничні речення" повинні записуватися у вигляді < а  є "А">, тобто що < а > є елементом "А", стільки в ній зустрічається записів вигляду "а є b", "X є У" або словесних формулювань типу "кожне а є інгредієнс предмету P". Але слід віддати належне послідовній інтуїції Леснєвського та все ж відзначити, що запису <a є A> відшукати не вдалося.

Переходячи до онтичного статусу підмета звернемося до пояснень автора Мереології, які переважно винесені в коментарі. І це недивно, бо де ж можна ще пояснити статус терміну, який фактично згадується, тоді як він повинен використовуватися. Наведемо деякі пояснення "одиничних речень", що поза сумнівом послужить кращому розумінню намірів їх автора. Леснєвський пише: "Реченнями типу "А не є b" я користувався при написанні реферованої праці ("Основи загальної теорії множин. I - Б.Д.) і користуюся тут як еквівалентом відповідних речень типу "А є предмет і не (А є b)", але не відповідними реченнями типу "не (А є b)". ([1928], S.262) Аналогічно попередньому і наступне зауваження на полях: "Реченнями типу "кожне а є b" я користувався при написанні реферованої роботи і користуюся тут як еквівалентами відповідних речень типу "деякий предмет є а і при будь-якому X, - якщо X є а, то X є b", але не відповідними реченнями типу "при будь-якім X -, якщо X є а, то X є b"; подібно ж, реченнями типу "жодне а не є b" я користувався і користуюся як еквівалентами відповідних речень типу "деякий предмет є а, і при будь-якім X -, якщо X є а, то X не є b", але не відповідними реченнями типу "при будь-якім X -, якщо X є а, то X не є b". (S.264)

Всі зроблені Леснєвським зауваження щодо статусу підмету, здавалося б, покояться на припущенні екстенсіональності або предметності у цілковитій згоді з установками початкового періоду і розшифровуються однозначно: суб'єкт номінального судження є предмет і як такий існує. Однак зроблені пізніше уточнення екстенсіональність потрактували радше потенційно. У зв'язку з таким висновком розглянемо "Твердження I.": "Якщо P є предмет, то P не є частина P" (редакція 1928 р. - Б.Д.), або інакше, - "жоден предмет не є частина самого себе" (редакція 1916 р.)". (S.265) Це твердження в термінології, наведеній вище, означає, "що деякий предмет є предмет, і при будь-якім X, - якщо X є предмет, то X не є частина предмету X. При доведені цього твердження, - продовжує Леснєвський, - я спирався на безсумнівне для мене припущення, що деякий предмет є предмет. Речення, яке стверджує, що деякий предмет є предмет, не вдається отримати на основі системи "онтології", що розвивається нижче. [...] Речення "деякий предмет є предмет" є для мене рівнозначним реченню "при деякому X - (X є предмет, і X є предмет)", а отже і реченню "при деякому X, - X є предмет". Прагнучи приєднати свій виклад "загальної теорії множин" до згаданої системи "онтології", я тут не користуватимуся реченням, що деякий предмет є предмет. Бажання уникнути саме це речення привело до того, що я формулюю більш слабе Твердження I даного викладу, ніж Твердження I оригіналу". (S.265)

Таким чином, якщо раніше кожне речення виду "А є b" передбачало не тільки наявність речення "А є предмет", але і "b є предмет", то тепер Леснєвський від другого з цих речень відмовляється, надаючи процесу номінації <"A" ¬ b .> відносний характер, що полягає на тому, що у свою чергу на попередньому кроці перейменування могла б виникнути ситуація <"B" ¬ с>, яка ліквідується за згаданим вище рецептом: "для будь-якого X, - X є предмет і X є B". Як було вже відзначене, цей попередній крок насправді переводить один модус терміну в іншій, тобто вживання в згадування — <"B" ¬ b .>, тоді як Леснєвському для обґрунтування існування "B" потрібен зворотний процес. Тому ні з онтологічної точки зору, ні з семіотичної, згідно якої довелося б вводити два позначення одного предмету в різних функціях їх використання - "B" і b, - аналіз присудка приводить до непереборних труднощів: його введення просто не узгоджується з напрямом перейменування; Мереологія стає динамічною системою, аксіоматика якої визначає правила побудови іменника, що стає предметом у всіх можливих смислах, які в нього вкладає Леснєвський. Смисли ж ці, узагальнено кажучи, визначаються модусами термінів і можуть бути узагальнено визначені як екстралінгвістичний та інтралінгвістичний. Леснєвський такого розрізнення не проводить і продовжує користуватися "виразом "предмет" [...] таким чином, який дозволяє стверджувати, що, якщо А є b, то А є предмет. Це якнайповніші гармонує з системою "онтології", яка розвивається нижче." ([1928], S.266) Однак ця гармонія не однозначна, принаймні в Мереології і до неї можуть бути пред'явлені претензії, аналогічні тим, що були висунуті до "Принципів математики" Рассела і Уайтхеда. Суть цих претензій полягає, говорячи мовою Брентано і Твардовського, в плутанині інтенціональних відношень до предмету вислову, яким, в одному випадку, є екстралінгвістичний об'єкт, в іншому - інтралінгвістичний, або простіше, судячи з модусів використання терміну для підмета, чи є термін таким, що вживається, або згадується.

Складність аналізу номінального судження полягає також і в тому, що говорити про неточність референції неможливо, а завдяки цьому неможливо також говорити про екстенсіональний або інтенсіональний контекст, бо відношення номінації, якщо можна так виразитися, протилежно направлене, ніж відношення референції, хоча як одне, так і друге зв'язує ім'я з денотатом; тим більше це складно робити, якщо номінація відносна, тобто це просто відношення перейменування, яке транзитивне. Властивість транзитивності відношення перейменування, яке в даному випадку виражається зв'язкою "є", принаймні формально, хоча взагалі це відношення не формалізується, мусить перш за все виконуватися на іменах, а точніше - інскрипціях. "Реченнями типу "А є b" - пише Леснєвський - я користувався при написанні реферованої роботи ("Основи загальної теорії множин. I - Б.Д.) і користуюся тут способом, який дозволяє стверджувати, що, якщо А є B, а також B є С, то А є С. Це якнайповніші гармонує з системою "онтології, що розвивається нижче". (S.269) Насправді ця гармонія досягається тоді, коли твердження Мереології відносяться не тільки до предметів, тобто множин, класів, елементів і т.п., але одночасно до записів. Очевидно, що ця вимога нездійсненна через різні функції, які виконують терміни в номінальному судженні, а також тому, що присудок часто є дескрипцією і як термін, який хоча і вживається, однак має неточну референцію. Наприклад, наведена вище Аксіома II починається словами: "Якщо P є частина Q ...", де присудок "частина Q" можна потрактувати як невизначену дескрипцію. Вище вже наголошувалося, що включення до складу "одиничного речення" типу "А є b", яке є несучою конструкцією також і Мереології, таких ключових понять як частина, множина, клас, елемент, інгредієнс і т.п. затушовує синтаксичну структуру згаданого речення, що, як здається, і не дозволило Леснєвському формалізувати свою "теорію множин". Так вираз "P є частина предмету Q" можна прочитати по-різному, наприклад, так: "P є (частина предмету Q)", або ж "P є частина (предмету Q)", і навіть "P є частина предмету (Q)". У всіх випадках міняється не тільки статус, екстралінгвістичний або інтралінгвістичний присудка "Q", але і функції зв'язки. Тому відзначена вище "гармонія" була реалізована тільки в Онтології, метою якої стало очищення речень виду "А є b" від допоміжних термінів частина, клас, інгредієнс і т.п. Ціна, яку довелося заплатити Леснєвському за бездоганну формалізацію "одиничних речень" вигляду "А є b", виявилася достатньо високою: нею став радикальний номіналізм. І це зрозуміло, бо ніякі посилання, ніяке взяття в лапки не виправляє положення терміну "А" для підмета, який згадується в номінальному судженні. Щоб уникнути сумісного виконання тверджень теорії для предметів і самих позначень Леснєвський змушений, впроваджуючи термін, наприклад, "А", тут же уникати його, перейменовуючи, до чого і підштовхувало його само судження як процес.

Стосовно системи Леснєвського слід говорити про різні екземпляри одного і того ж виразу, про еквіморфність термінів, але ніколи про різні входження одного запису як про один і той самий предмет; записи у Леснєвського не повторюються. В зв'язку з цим варто згадати факт, який свідчить про таке розуміння номіналізму Леснєвським. Так, зроблена Б.Собоцинським реконструкція логіки свого вчителя налічувала близько тисячі сторінок машинопису, а в монографії Лушея [1962] термінологічні пояснення, що уточнюють значення використаних Леснєвським понять, займають 120 сторінок. Саме так зрозумілий номіналізм дозволяє зберегти Леснєвському установку на екстенсіональність і уникнути інтенсіональних контекстів. Тому, якщо теорії Леснєвського переслідували різні цілі, відзначені вище, то щодо їх досягнення, що виразилося в оформленні, існує єдність: вираз існує, якщо він сконструйований з раніше існуючих записів, або ж є новим записом, побудованим на підставі прийнятих правил побудови записів.[2]

Мереологія не є логічною теорією, а вченням про частини (meros - по грецькі - частина). Відзначимо її особливості порівняно з дистрибутивною теорією множин. Коли мовиться, що x належить до множини X (в дистрибутивному значенні), то цим висловлюється тільки те, що x володіє властивістю X. В мереологічному розумінні множина є "цілим", колективом або агрегатом, тобто цілком певним фізичним об'єктом, складеним з частин. Наприклад, польське суспільство як мереологічна множина складається з людей, що живуть в Польщі, різних громадських груп, що становлять польське суспільство і, нарешті, з самого цього суспільства. З цього виходить, що одноелементна множина ідентична з самим елементом, що множина X може бути ідентична множині У, хоча X і У, взагалі кажучи, можуть бути іменами на перший погляд різних предметів, що в Мереології не існує порожніх множин, і нарешті, що відношення "є", або, в термінології теоретико-множинній - "бути елементом", є відношенням транзитивним для мереологічних множин і не транзитивним для множин дистрибутивних.

Леснєвський вважав, що мереологічне поняття множини є інтуїтивно більш "прозорим", ніж поняття множини в дистрибутивному сенсі. Зокрема, Леснєвський вважав, що відомий вислів Г.Кантора, ніби множиною є кожна величина, яку можна сприйняти як цілісність, не суперечить мереологічній концепції множини і звинувачував математиків в створенні штучних конструкцій, які повинні погоджувати інтуїцію з дистрибутивним поняттям множин, але не роблять цього. Так, наприклад, коли в теорії множин визначається перетин множин як їх спільна частина, то для загальності конструкції приймається, що перетин дистрибутивних (таких, що не перетинаються) множин є пустим. Таким чином, вважає Леснєвський, математики вигадують неіснуючі речі. ([1927], S.193) Він вважав, що теорію множин, яка задовольняє інтуїції, слід побудувати на понятті множини в колективному значенні. Такою він вважав Мереологію.

На підставі мереологічного трактування множини антиномія Рассела не виникає. Зі значень термінів "клас" і "елемент" виникає, що не існують класи, які не є власними елементами, а тому і постановка питання, яка приводить до антиномії Рассела, просто не має сенсу в системі Леснєвського.