4.3. Середні величини

Середньою величиною в статистиці називаються кількісний показник характерного, типового рівня масових однорідних явищ, який складається під впливом загальних причин і умов розвитку. У зв'язку з цим середні величини відносяться до узагальнюючих статистичних показників, які дають зведену, підсумкову характеристику масових суспільних явищ. В середній величині гасяться (розчиняються) всі відмінності та особливості індивідуальних значень ознак і вона є „рівнодіючою" значень цих ознак. Головними умовами застосування середніх величин є:

1) наявність якісної однорідності сукупності;

2) масовий характер даних сукупності, де діє закон великих чисел.

Залежно від характеру ознаки, що усереднюється, і наявності вихідної статистичної інформації в статистиці використовують декілька видів середніх, серед яких найбільш поширеними є такі: середня арифметична; середня гармонічна; середньо квадратична; середня геометрична. Поряд з переліченими видами середніх величин у статистичній практиці застосовують також середню хронологічну та структурні середні: моду та медіану. Використання того чи іншого виду середніх залежить від двох обставин:

1) від характеру індивідуальних значень ознаки (прямі, обернені, квадратичні, відносні);

2) від характеру алгебраїчного зв'язку між індивідуальними значеннями ознаки та її загального обсягу (сума, добуток, степінь, квадратний корінь).

Кожна із зазначених видів середніх може виступати у двох формах: простої та зваженої. Проста середня застосовується при обчисленні середньої за первинними (не згрупованими) даними, зважена — за згрупованими даними.

При використанні середніх величин введемо такі позначення:

Х_сер - середнє значення досліджувальної ознаки;

Х_і або х — кожне індивідуальне значення усереднюваної ознаки (варіанта) в варіаційному ряду;

f_i або f- частота повторень (вага) індивідуальної ознаки в варіаційному ряду;

z = xf - обсяг значень ознаки;

n — кількість одиниць досліджувальної ознаки.

Середня арифметична

Середня арифметична - це найпоширеніший вид середньої між інших. Вона застосовується тоді, коли відомі індивідуальні значення усереднюваної ознаки та їх кількість у сукупності. Тоді проста середня арифметична обчислюється діленням загального обсягу значень ознаки на обсяг сукупності:

Х_сер = (x₁ + x₂ + … + x_n) / n = ∑x / n

Наприклад, статутний капітал акціонерної компанії сформований 6 засновниками. Розмір внеску кожного з них відповідно становив, млн.грн: 8; 10; 12; 9; 6; 5. Середній внесок одного засновника розраховується так:

Х_сер = Сума внесків / Число засновників = (8 + 10 + 12 + 9 + 6 + 5) / 6 = 50 / 6 ≈ 8,3 млн.грн.

Зважена середня арифметична використовується у тих випадках, коли значення ознаки подано у вигляді варіаційного ряду, в якому чисельність одиниць у варіантах неоднакова. Формула середньої арифметичної зваженої має вигляд:

Х_сер = (x₁f₁ + x₂ f₂+ … + x_nf_n) / f₁ + f₂ + …+ f_n = ∑xf / ∑f

З формули видно, що середня зважена принципово не відрізняється від середньої простої арифметичної. Тут додавання f разів варіанти х змінюється множенням її на кількість повторень (f).

Техніку обчислення середньої арифметичної зваженої проілюструємо прикладом обчислення середньої виробки деталей на одного робітника за зміну, якщо відомо скільки деталей виготовив кожен з 15 робітників:

Таблиця 4.1

Розподіл робочих за виробкою деталей

Середня арифметична зважена:

Х_сер = ∑xf / ∑f = 297 / 15 = 19,8 шт.

Середня гармонічна

Середня гармонічна — це обернена до середньої арифметичної із обернених значень ознак. її обчислюють, коли необхідно осереднення обернених індивідуальних значень ознак шляхом їх підсумування (наприклад, у випадках визначення середніх витрат часу, праці, матеріалів на одиницю продукції тощо). У випадку розрахунку середньої гармонічної зваженої її обчислюють тоді, коли відомі дані про загальний обсяг ознаки (z = xf), а також індивідуальні значення ознаки (х), невідома є частота (f). Формули середньої гармонічної - простої і зваженої — мають такий вигляд:

- для простої: Х_сер = n / ∑1 / x

- для зваженої: Х_сер =∑z / ∑z / x

Для встановлення місця середньої гармонічної в розрахунку середньої величини розглянемо такий приклад. Припустимо, що бригада токарів на протязі 8-годинного робочого дня зайнята обточкою однакових деталей. Перший токар затрачує на одну деталь 12 хв, другий - 15 хв, третій - 11 хв, четвертий — 16 хв і п'ятий — 14 хв. Необхідно знайти середній час на виготовлення одної деталі.

На перший погляд, ця задача вирішуються легко за формулою середньої арифметичної простої:

Х_сер = ∑x / n = (12 + 15 + 11 + 16 + 14) / 5 = 68 / 5 = 13,6 хв.

Однак, знайдена середня була би правильною, якщо кожний робітник виробив тільки по одній деталі, а не працював 8 годин, коли робітниками було виготовлено різна кількість деталей. Для розрахунку кількості деталей, виготовлених кожним робітником, використаємо таке співвідношення (логічну формулу):

Середній час на одну деталь = Весь затрачений час / Кількість деталей = (8*60 + 8*60 + 8*60+ 8*60 + 8*60) / (8*6012 + 8*60/15+ 8*60/11 + 8*60/16 + 8*60/14) = 5 / (1/12 + 1/15 + 1/11 + 1/16 + 1/14) = 5 / 0,375 = 13,3 хв.

Останнє кількісне співвідношення відповідає формулі середньої гармонічної простої.

Бачимо, що в наявності різниця між результатами обчислення за формулами середньої арифметичної та середньої гармонічної.

Середня квадратична

Середня квадратична використовується для визначення показників варіації (коливання) ознаки - дисперсії та середнього квадратичного відхилення. Обчислюється на основі квадратів відхилень індивідуальних значень ознаки від їх середньої величини. Формула середньої квадратичної має такий вигляд:

- проста: Х_сер = √x² / n

- зважена: Х_сер = √x²f / ∑f

Середня геометрична

Середню геометричну застосовують у тих випадках, коли обсяг сукупності формується не сумою, а добутком індивідуальних значень ознак. Цей вид середньої використовується здебільшого для обчислення середніх коефіцієнтів (темпів) зростання в рядах динаміки. Так, у випадку однакових часових інтервалів між рівнями динамічного ряду середня геометрична проста має такий вигляд:

k_сер = ⁿ√k₁ * k₂ *…*k_n

де k = y_i / y_i-1 - темпи зростання; у_i, у_i-1 - відповідно розглядаємий та попередній рівні ряду; n— кількість інтервалів.

Прикладом застосування середньої геометричної є такий. Припустимо, що внаслідок інфляції споживчі ціни за чотири роки зросли в 2,8 рази, в тому числі: за перший рік у 1,7 рази; за другий — в 1,3; за третій - в 1,1; за четвертий — в 1,15 рази. Як визначити середньорічний темп зростання цін? Середня арифметична (1,7+1,3+1,1+1,15):4=1,312 не забезпечує визначеної властивості, так як за чотири роки за цією середньою ціни б зросли у 1,312*1,312*1,312*1,312=2,94 рази, а не в 2,8 рази. Визначену властивість забезпечує тільки середня геометрична:

Х_сер = ⁴√1,7 * 1,3 * 1,1 * 1,15 = ⁴√2,8 = 1,295

Мода і медіана

Середніми величинами в статистичних рядах розподілу є мода і медіана, які відносяться до класу структурних {позиційних) середніх. їх величини залежать лише від характеру частот, тобто від структури розподілу. На відміну від інших середніх, які залежать від усіх значень ознаки, мода і медіана не залежить від крайніх значень. Це особливо важливо для незакритих крайніх інтервалів варіаційних рядів розподілу.

Мода (М_о) — це значення варіанти, що найчастіше повторюється в ряду розподілу. Спосіб обчислення моди залежить від виду статистичного ряду. Для атрибутивних і дискретних рядів розподілу моду визначають візуально без будь-яких розрахунків за значенням варіанти з найбільшою частотою (часткою). Наприклад, за результатами опитування населення щодо самовизначення матеріального стану за чотирма оцінками (добрий, задовільний, незадовільний, нестерпний) більшість респондентів визначили свій стан як незадовільний — це і буде модою. Або модальною ціною на той чи інший продукт на ринку є та ціна, яка спостерігається найчастіше. В інтервальному ряді спочатку визначається модальний інтервал (інтервал з найбільшою частотою) і значення моди в середні інтервалу розраховується за формулою:

M_o = x₀ + h ((f₂ – f₁) / ((f₂ – f₁) +( f₂ – f₃ )))

де х₀ - нижня межа модального інтервалу;

h - величина модального інтервалу;

f₁, f₂, f₃ - частота відповідно передмодального, модального та післямодального інтервалів.

Медіаною (М_e) називають варіанту, що ділить ранжирований (впорядкований за мірою зростання або зменшення) ряд на дві рівні за обсягом частини. Медіана для дискретного ряду з непарним числом варіант буде відповідати середній варіанті М_е = x_m-1, де m - номер кратної варіанти першої половини ранжированного ряду. Медіана для дискретного ряду з парним числом варіант буде відповідати середній із значень варіант у ранжированному ряду: М_е = (x_m + x_m+1) / 2 . Для інтервального ряду медіана обчислюється для середини медіанного інтервалу, за який приймається такий, де сума накопичених частот перевищує половину значень частот ряду розподілу. В даному випадку формула для розрахунку медіани має вигляд:

M_e = x₀ + h (0,5∑f – Sx₀) / f_m

де х₀ - нижня межа медіанного інтервалу; h - величина медіанного інтервалу; 0,5 ∑f - половина суми накопичених частот інтервального ряду; Sx₀ - сума накопичених частот перед медіанним інтервалом; f_m - частота медіанного інтервалу.

В аналізі закономірностей розподілу використовуються також такі характеристики як квартилі та децилі. Квартилі — це варіанти, які поділяють обсяги сукупності на чотири рівні частини, децилі — на десять частин.