5. Анализ временных рядов Бокса-Дженкинса

Практическое использование ARIMA -моделей связывают с появлением методики их построения, разработанной Г.Боксом и Г.Дженкинсом. Методика предусматривает такие последовательные процедуры:

1) идентификация модели временного ряда;

2) оценивание параметров модели;

3) диагностика построенной модели;

4) использование модели для прогнозирования будущих значений временного ряда.

Эти процедуры могут неоднократно повторяться в процессе уточнения модели.

Во времена Бокса и Дженкинса, из-зи значительных ограничений на использование компьютеров, для оценивания коэффициентов разрабатывались отдельные методы для каждой модели. Сейчас ученые разработали общий метод максимального правдоподобия.

Главная идея применения метода состоит в предположении, что данные имеют некоторое вероятностное распределение и исчисляются вероятность нужного события. Это в общем случае зависит от некоторых неизвестных параметров. Используя данные, можно максимизировать вероятность этого события. Коэффициенты, при которых достигается максимум вероятности соответствующего события, являются необходимыми оценками параметров. Иногда очень тяжело найти эти оценки в аналитическом виде. В таком случае используют числовые методы оптимизации функции правдоподобия.

Прогнозирование с помощью ARIMA моделей. В ARIMA моделях, во время прогнозирования значения переменной для будущего момента времени, лага значения этой переменной, которые служат объясняющими переменными (регресорами) модели, можно рассматривать или фиксированными на выборочных значениях, или случайными. Первая возможность приводит к условному прогнозу, на подобие множественной регрессии, вторая - к безусловному прогнозу. Итак, в прогнозировании за моделью типа ARIMA рассматривают условные и безусловные прогнозы. Известно, что условная дисперсия случайной величины не превышает ее безусловную дисперсию, поэтому точность условного прогноза всегда высшая.