4.1.4. Пропозиціональне числення із змінними функторами

Вельми цікавим і рідко обговорюваним випадком логічної теорії є числення речень із змінними функторами. Його поява певною мірою пов'язана з точкою зору Лукасевича на визначення. Вище згадувалося, що Лукасевич розумів дефініції як метамовні скорочення. Відмінну від цієї позицію в школі займав Леснєвський, котрий трактував дефініції як речення системи. Порівняння цих двох точок зору спонукало Лукасевича до вивчення числення речень із змінними функторами, введеними вперше в Прототетиці Леснєвського. Перший раз цим питанням Лукасевич зайнявся в статті про числення речень еквівалентності [1939]. Лукасевич помічає, що вираз Vp (verum від p) як одноаргументний функтор від пропозиціональної змінної може бути введений двояко:

 D1        Vp  =  df Epp

 D2        EVpEpp

Відмінності D1 і D2 полягають на тому, що D1 записане в метамові, а D2 є реченням числення, але крім того ці визначення "методологічно різні" і, як зауважує Лукасевич, не знаходячи кращого виразу, D2 "діє "творчо"". Відмінності визначень D1 і D2 демонструються на прикладі виразу

(I)      EEsEppEEsEppEEpqEErqEpr

який є формулою, що виводиться у численні еквівалентностей. Особливість цієї формули полягає в тому, що всі її висновки можна отримати виключно шляхом підстановки, але не відділенням. Той факт, що формула (I) "неподільна" Лукасевич показує методом, який походить від Тарського.[1]

А саме, якщо з (I) ми хочемо отримати нову формулу шляхом відділення, то повинні припустити, що існують дві підстановки в (I), одна з яких має тип Exy, а друга - x (всі змінні належать метамові, тобто є змінними, значеннями яких є довільні вирази мови числення еквівалентностей). Ці семіотичні умови записуються наступним чином:

(a)      Exy : = : EEaEbbEEcEddEEdeEEfeEeg

(b)          x : = : EEhEiiEEhEiiEEijEEkjEik

(символ ": = :" означає тут еквіморфність).

В (а) літері x відповідає вираз EaEbb, тобто

(c)          x : = : EaEbb

тоді як з (b) і (c) одержуємо, що

                     (d)        EaEbb : = : EEhEiiEEhEiiEEijEEkjEik.

Звідси випливає, що наступні вирази еквіморфні:

                     (е)       а : = : EhEii

                     (f)        b : = : EhEii

                     (g)       b : = : EEijEEkjEik.

З (f) і (g) одержуємо:

                     (h)        h : = : Eij

                      (i)        i : = : Ekj

                        (j)        i : = : Eik.

Останній вираз абсурдний, оскільки неможливо, щоб "i" було еквіморфне деякому виразу, який містить "i" як свою власну частину. Звідси випливає, що неможливо отримати дві підстановки формули (I), які були б підстановками типу Exy і x. Таким чином, до виразу (I) не може бути застосовано правило відділення. Звідси безпосередньо випливає, що з (I) не можна вивести ніякої більш короткої формули, зокрема EEpqEErqEpr, яка була б аксіомою числення висловів.

Однак ситуація змінитися, якщо прийняти D2. Достатньо в (I) замість змінної s підставити вираз Vp, щоб після двократного застосування правила відділення отримати аксіому EEpqEErqEpr. Отже, дефініція D2 креативна. Таке рішення не задовольняє Лукасевича, оскільки D2 вводить в систему вираз, який не є первинним, а тому він і не характеризується аксіомами. Лукасевич [1939] заключає: "У жодному випадку ми не повинні надавати нових властивостей первинним термінам системи. Первинні терміни повинні бути охарактеризовані виключно аксіомами. Якщо ми займаємо таку позицію, то слід було б по можливості уникати творчих визначень." (S.249)

До цієї проблематики Лукасевич повернувся в роботі "Про змінні функтори від пропозиціональних аргументів" (1951). Розглядаючи формулу Прототетики Леснєвського

(1) CfpCfNpfq

він задається питанням про область значень пропозиціональної змінної, відзначаючи, що замість змінної можна підставляти будь-який правильно побудований вираз, а також константи 0 і 1. Це питання Лукасевич поширює і на функтори, запитуючи: "Яка область значень функторної змінної f ?" Він вважає, що замість змінної f у виразі fx, де x є якимсь правильно побудованим реченням, можна підставити кожне значення, яке з виразом x утворює правильно "побудоване ціле". Таким може бути одноаргументний функтор N, або ж вираз Cr, а також вираз CC00. Підставляючи в (1) замість f вираз Cr отримаємо формулу CCrpCCrNpCrq, а підставляючи вираз CC00 - формулу CCC00pCCC00NpCC00q. Однак цей тип підстановки не охоплює всіх можливих випадків, оскільки з (1) неможливо отримати ані CpCNpq, бо за допомогою підстановки неможливо усунути функтори, ані CCprCCNprCqr, оскільки жодна підстановка замість f у виразах fp або fq не може переставити кінцеві p або q зі свого місця. Цю перешкоду Леснєвський усуває за допомогою дефініції, вважаючи, що Grp означає те ж, що Crp. Підставляючи в (1) Gr замість f отримаємо CGrpCGrNpGrq, а потім за допомогою дефініції - CCprCCNprCqr.

Запропонований Леснєвським спосіб Лукасевич вважає штучним і важким. На думку Лукасевича, він знайшов новий тип підстановки, в якому символ fx, де x є пропозиціональним виразом, представляє всі правильно побудовані вирази числення висловів, які містять x. Наприклад, fp представляє Crp так само, як і Cpr, тобто просто представляє всі пропозиціональні вирази, які містять p, включаючи саме p, а також fp. З урахуванням такого представлення Лукасевич вважає за необхідне ввести нове правило підстановки. Смисл правила підстановки з апострофом він пояснює на прикладі. Припустимо, ми хочемо з (1) отримати формулу CCprCCNprCqr. Необхідну підстановку позначимо через f/C’. Це значить, що в (1) замість f слід підставити вираз, який починається з С і закінчується змінною r, а замість апострофа скрізь вставити аргумент функтора f. Тоді fp переходить в Cpr, CfNp - в CCNpr, fq - в Cqr, а (1) - у формулу CCprCCNprCqr, яка відшукується. Тепер припустимо, що з (1) ми хочемо отримати CpCNpq. З цією метою використовуємо підстановку, що позначається скороченням f/’, яка означає, що замість f слід вписати змінну p, тобто просто поминути f.

Підстановка з апострофом має важливі наслідки при використанні дефініцій в дедуктивних системах. Лукасевич вважає, що концепція визначень як скорочень, так і еквівалентності має свої переваги і недоліки. Перевагою першої концепції є можливість безпосередньої заміни, а недоліком - збільшення числа первинних символів знаком рівності за визначенням. У свою чергу, перевагою другої концепції є можливість запису дефініції в мові системи, а недоліком - відсутність безпосередньої заміни сторін дефінітивної еквівалентності. Лукасевич пропонує новий підхід до визначення, який повинен поєднати переваги згаданих рішень і одночасно уникнути їх недоліків. Лукасевич розглядає формулу Прототетики Леснєвського

 (2)      CEpqCfpfq.

Ця формула виражає тезу екстенсіональності, яка у вільному формулюванні говорить, що, якщо p і q еквівалентні, то сказане про p відноситься також і до q. Позначимо через x і у два пропозиціональні вирази, один з яких, байдуже який, є у визначенні дефінієнсом, а другий - дефінієндумом, причому кожне з них не містить f. Вважаючи дефініцію істинною, приймаємо формулу

(3)       Exy.

З (2) і (3) одержуємо

(4)        Cfxfy.

Скориставшись законом тотожності Epp, підставимо x замість змінної p, а до (4) застосуємо підстановку з апострофом f/Ex’. Отримаємо Exx і CExxExy, а після відділення - Exy. Таким чином, виявляється, що (3) рівносильно (4), і оскільки (3) вище приймалося як дефініція, то з таким же успіхом (4) можна вважати схемою дефініції. Основною перевагою такого представлення дефініції є можливість її запису за допомогою знаку імплікації, а тим самим – найбільш натурального функтора числення висловів. Дію (4) як схеми дефініцій пояснює приклад визначення заперечення в пропозиціональному численні, заснованому на імплікації і константі "фальш" (0). Використовуючи (4) запишемо це визначення у вигляді

 (5)         CfNpfCp0.

Подальші кроки представляє наступний висновок:

(6)         СfpCfNpfq  (твердження Прототетики)

             (5) f/CfpCf ’fq * С(6)-(7)

(7)         CfpCfCp0fq.

Таким чином, Np (дефінієндум в (5)) виявилося заміненим Cp0 (дефінєнс в (5)). Зворотна заміна вимагає доказу імплікації, оберненої до (5), тобто імплікації CfCpf0Np. Її доказ має вигляд:

 (4)              Cfxfy       (схема дефініції)

                   (4) f/Cf'fx * (8)

(8)              CCfxfxCfyfx

                   (4) f/CCfxf'Cfyfx * (9)

(9)               CCCfxfxCfyfxCCfxfyCfyfx

                    (9) * З(8)-(4)-(10)

(10)             Cfyfx

Отже, в (4) як засновок, так і висновок можуть виконувати роль дефінієнсу і дефінєндуму. Наведений доказ показує наскільки логічно сильним виявляється правило підстановки з апострофом, що дозволяє по-новому подивитися на визначення в логічних системах.[2] Разом з тим виявляється, що роль змінних функторів від пропозиціональних аргументів ширше, ніж питання теорії визначень. Зокрема, інакше відкривається перспектива аксіоматизації числення висловів. В пропозиціональному численні із змінними функторами можна довести формулу

(11)         Cf0CfC00fp

яка може бути прочитана наступним чином: якщо що-небудь істинно про тотожно помилкове речення, і те саме істинно для тотожно істинного речення, то це ж вірно і для будь-якого речення. Тому Лукасевич (11) трактує як принцип двозначності, оскільки це речення говорить, що існують речення істинні або хибні і лише такі речення. Разом з тим Лукасевич висловлює думку, що з (11) випливають аксіоми імплікативно-негативного числення висловів; саме цю роль і виконує формула CfC00Cf0fp. Учень Лукасевича, Мередіт, показав, що всі закони звичайного числення висловів, а також закони числення висловів з кванторами та змінними функторами містяться у формулі Cff0fp з шести літер [1951]; ця формула за свідченням Собоцинського була відома Лукасевичу. В зв'язку з цим Лукасевич писав наступне: "Виведення з цієї формули всього числення висловів за допомогою правила підстановки, правила відділення і правил для кванторів слід визнати шедевром дедуктивного мистецтва".[3]