Категорії

Дипломні, курсові
на замовлення

Дипломні та курсові
на замовлення

Роботи виконуємо якісно,
без зайвих запитань.

Замовити / взнати ціну Замовити

4.1.5. Натуральний умовивід Ст. Яськовського

В 1926 р. Лукасевич поставив проблему, витоки якої можна помітити в розглянутій вище роботі "Про науку". А саме, в математичних доказах не використовуються логічні формули, але в них звертаються до передумов і правил міркувань. Чи можна ці методи доказу відобразити в системі структурних правил і дослідити їх відношення до тверджень аксіоматичного числення висловів? В 1927 р. Яськовський відповів на це питання; результати викладені в роботі "Про правила припущень у формальній логіці" [1934].

Спочатку Яськовський наводить приклади, за допомогою яких з'ясовує інтуїтивне значення методу припущень. Якщо ми хочемо переконатися в істинності формули CpCCpqq, то можна це зробити таким чином:

 1. Припустимо p.

 2. Припустимо Cpq.

 3. З 1 і 2 випливає q.

 4. З урахуванням того, що q є наслідком припущення Cpq отримаємо імплікацію Cpqq.

 5. З урахуванням припущення p одержуємо вираз CpCpqq.

Наведений неформальний вивід кодується таким чином:

 1.Sp

 1.1.SCpq

 1.1.q

 1.CCpqq

  CpCCpqq

Символ S є скороченням для звороту "припускається". Кожному припущенню передує цифровий префікс. Префікс, складений з однієї цифри і крапки, означає головне припущення в даному виводі, а префікс, складений з більшого числа цифр і крапок, означає подальші припущення. Якщо подальше припущення позначено префіксом, початковий сегмент якого ідентичний з префіксом деякого вже записаного в даному виводі припущення, то це значить, що ми маємо справу з припущенням, яке охоплюється попереднім припущенням, наприклад, SCpq знаходиться, якщо можна так виразитися, в області припущення Sp. Якщо рядку виводу передує цифровий префікс, після якого знак S не записується, то тоді вираз, що стоїть безпосередньо після префікса, є наслідком припущення, яке має той самий префікс, наприклад, q є наслідком SCpq.

Яськовський представляє систему натуральної дедукції у вигляді послідовності виразів, кожне з яких він вважає таким, що належить численню. Зокрема, передбачається, що істинними формулами системи є припущення та їх наслідки. Таке широке розуміння істинної формули, звичайно, не суперечить її розумінню у вузькому значенні як формули доказової.

Опис системи починається наведеним вище прикладом і Яськовський припускає, що на момент написання першого припущення жодні інші формули не існують. Якщо яка-небудь формула T має номер n, то всі формули, що мають в початковому сегменті номер n, належать (разом з T) до області T; в наведеному прикладі до області формули q належать вирази Sp, SCpq і саме q. Під абсолютною областю Яськовський розуміє множину всіх записаних формул системи, а сама абсолютна область збільшується одночасно з розвитком всієї системи. На момент написання першої формули абсолютна область є порожньою множиною. Ці властивості поповнення формальної системи свідчать про вплив Леснєвського. В 1926 р. на семінарі Лукасевича поняття області Яськовський експлікував таким чином:

                                                                            p     

                                                                         Cpq     

                                                                           p     

                                                                           q     

                                                                       CCpqq    

                                                                      CpCCpqq    

 Однак префіксна нотація областей припущень у якості їх імен суперечить поглядам Леснєвського. В зв'язку з цим Яськовський зауважує: "Можна розуміти область як клас виразів у згоді з поглядами Леснєвського на клас як матеріальний об'єкт, але в цьому випадку тлумачення сегментів буде модифіковано і формулювання правил тим самим значно ускладниться". ([1934], S.9)

Правила побудови системи Яськовського наступні:

(R1) До кожної області формул D можна додати вирази, що складаються з (a) префікса, який відрізняється від початкового сегменту префікса довільного елемента D, (b) крапки, (c) символу S, (d) речення.

(RII) Якщо в області D припущення x істинним є речення у, то до області, в якій D є підобластю, можна додати речення Cxy. З двох областей D і D`, де D - область припущення x, а D` - абсолютна область або область припущення x`, префікс якої ідентичний з початковим сегментом префікса припущення x, D є підобластю D` і D є безпосередня підобласть D` тоді і тільки тоді, коли D не є підобластю ніякої підобласті D`.

 (RIII) Якщо в даній області D істинні речення Cxy і x, то допустимо до D додати у; це правило, звичайно, є правилом modus роnens для натурального виводу.

 (RIV) Якщо в області D припущення Nx істинні речення у і Ny, то до області, відносно якої D є підобластю, можна додати речення x.

 Використовуючи наведені правила Яськовський конструює систему, що містить 59 речень "теорії дедукції" (у висновку позначаються td); нижче подаються перші двадцять з них (з правої сторони подані номери речень і правил, які використовуються у виводі даного речення:

td1              1.Sp                                                       I

td2              1.1.SCpq                                                I

td3              1.1.q                                                      III,2,1

td4              1.CCpqq                                                II,2,3

td5              CpCCpqq                                               II,1,4

td6              2.SCNpNq                                              I

td7              2.1.Sq                                                     I

td8              2.1.1.SNp                                               I

td9              2.1.1.Nq                                                 III,6,8

td10             2.1.p                                                      IV,8,7,9

td11             2.Cqp                                                    II,7,10

td12             CCNpNqCqp                                         II,6,11

td13             1.2.Sq                                                    I

td14             1.Cqp                                                    II,13,1

td15             CpCqp                                                   II,1,14

td16             1.3.SNp                                                 I

td17             1.3.1.SNq                                              I

td18             1.3.q                                                      IV,17,1,16

td19             1.CNpq                                                  II,16,18

td20             CpCNpq                                                 II,1,19

 

Таким чином, система виводу Яськовського будується на припущеннях і правилах виводу, але її відмінність від системи Генцена крім кодифікаційних особливостей, визначуваних, ймовірно, бездужковим записом, полягає і на тому, що вона зберігає підобласті абсолютної області (яка позначається по мірі побудови формулами без префіксів) і тим самим містить також правила побудови всієї системи. Отже, твердженням логіки в системі Яськовського не передують цифрові префікси. Він формулює метатеорему, стверджуючу еквівалентність аксіоматичної системи Лукасевича і системи, побудованої на припущеннях. "Доказ" цього твердження є по суті лише абрисом проблеми і покоїться на понятті побудови речення, центральне значення якого передається терміном "еквіморфний" (equiform).

Поза сумнівом, конструкція Яськовського належить до найвидатніших досягнень, отриманих не тільки на семінарі Лукасевича, але і у Львівсько-Варшавській школі. Якщо врахувати, що перші результати датуються 1926 р., то система польського логіка є першою системою натурального виводу в логічній практиці.