Категорії

Дипломні, курсові
на замовлення

Дипломні та курсові
на замовлення

Роботи виконуємо якісно,
без зайвих запитань.

Замовити / взнати ціну Замовити

4.2.1. Багатозначні логіки

Добре відомо, некласична логіка - це необов'язково логіка двох істиннісних значень - істини і фальші; некласичність визначається семантикою логічних зв'язок, або, якщо останнє поняття розуміти ширше - семантикою логічних операторів. Зовнішнім виразом сказаного якраз і є бездужковий запис. З цієї причини в даному параграфі будуть обговорені логічні числення, які залічуються до некласичних також і традиційно: багатозначні логіки, модальні логіки, інтуїціоністське числення висловів, а також згадана дискусійна логіка Яськовського. Появу цих систем у Львівсько-Варшавській школі також важко відділити від імені Лукасевича. Раніше вже висловлювалася думка, яка відзначала роль філософа Лукасевича в логіці і яка зводилося до того, що він був в логіці метафізиком. В цьому зв'язку згадувалась робота "Про індукцію як інверсію дедукції", яка разом з іншими ранніми роботами при розгляді витоків багатозначної логіки, як правило, не враховувалася. Звикло вважається, що перша згадка про багатозначну логіку була зроблена Лукасевичем 7 березня 1918 р. в прощальній лекції перед відходом на роботу до Міністерства віросповідань і публічної освіти. У цього повідомлення є передісторія, що відображає еволюцію філософа Лукасевича у напрямку до логіки, початок якої був покладений низкою робіт, що сформували парадигму філософії речення цього дослідника. В короткому огляді генезису поглядів "раннього" Лукасевича ми торкнемося деяких з них.

Існувала та і існує дотепер тенденція пов'язувати індукцію з імовірнісним підходом або, як його називали раніше, особливо логіки, з правдоподібністю. Спочатку Лукасевич був прихильником т.зв. інверсної теорії дедукції, згідно якої індукція є міркуванням, в якому відшукується логічна підстава для одиничних речень досвіду. Зв'язок індуктивних і дедуктивних міркувань він узагальнив, слідуючи Твардовському, в понятті міркування як процесу. Лукасевич [1912], [1915] розрізняє підставу і наслідок, які не відповідають парі засновок-висновок, і у зв'язку з цим вводить напрям міркування. Якщо засновок є підставою, а висновок - наслідком, то йдеться про дедуктивне міркування, а якщо засновок є наслідком, а висновок - підставою, то йдеться про міркування-редукцію, або кажучи інакше, дедукція є знаходженням наслідку по даній підставі, а редукція - підстави для даного наслідку. Дедукція є надійним, безпомилковим міркуванням, тоді як редукція - всього лише правдоподібним. Але в [1909] Лукасевич, аналізуючи формулу Лапласа p = n+1/n+2, по якій визначається правдоподібність того, що n+1 подія посідає властивість, яка виявилася в n подіях, формулює аргумент, який поставив під сумнів осмисленість приписування індуктивним висновкам міри правдоподібності. Формула Лапласа стосується одиничної події, тоді як в індуктивному висновку йдеться про правдоподібність генералізації. Можна скористатися т.зв. узагальненою формулою Лапласа p = n+1/n+m+1, де m - це число подій, охоплених генералізацією, а n - базис індукції (число спостережуваних подій). Оскільки m набагато більше n, то p не може бути більше 1/2, а якщо m прямує до нескінченності, то p - до нуля.[1] Тому Лукасевич в роботі "Логічні основи числення правдоподібності" [1913] намагається з'ясувати, чому поняття правдоподібності не стосується речень (суджень). Він вважає, що міру правдоподібності можна приписувати пропозиціональним функціям у вигляді відношення числа аргументів, для яких вона істинна, до скінченого числа всіх значень змінної. Речення, тобто формули без вільних змінних бувають або істинними, або хибними і поняття правдоподібності взагалі їх не стосується.

Таким чином, якщо істиннісну оцінку вважати ім'ям речення в непрямому вживанні, то, очевидно, ототожнити її з ситуацією неможливо. Тому Лукасевич залишає індукцію як опосередковуючий метод, що передує дедукції, і звертається безпосередньо до ревізії міркування як поняття, яке охоплює і індукцію, і дедукцію. Ця ревізія полягала у висловлювані сумніву щодо універсальності двох найважливіших законів: принципу виключеного третього і принципу суперечності. Якщо другому з цих законів присвячена монографія "Про принцип суперечності у Аристотеля" [1910], то про перший можна знайти згадку в короткому звіті "Про принцип виключеного середнього" [1910a]. Вихідна позиція метафізика Лукасевича в ревізії обох цих законів одна. В звіті він пише: "[...] два найважливіші онтологічні принципи, відомі як принцип суперечності і принцип виключеного середнього, істинними самі по собі не є, але вимагають доказу; однак оскільки довести їх не вдається, особливо в застосуванні до реальних предметів, то їх слід вважати тільки припущеннями. Тому необхідність визнання цих принципів не має логічного джерела, але виникає з певних практичних потреб." (S.126)

В ревізії міркування як процесу, зокрема, процесу приписування властивостей предметам саме останні стали для Лукасевича на якийсь час метою аналізу, і тут можна знайти виразний вплив А.Мейнонга, в семінарах якого в 1909 р. в Граці брав участь Лукасевич. У висновках згаданого звіту він ставить під сумнів, "чи підпадають під принцип виключеного середнього загальні предмети, такі як трикутник взагалі, людина взагалі і т.д." "Але якщо йдеться про реальні предмети, - продовжує Лукасевич - принцип виключеного середнього, здається, залишається в тісному зв'язку з постулатом повсюдної детермінації явищ, не тільки теперішніх і минулих, але й майбутніх". ([1910a], S.126-127)

Обидва згадані принципи для Лукасевича є нічим іншим, як способом міркування, процесом, правильність якого не може прийматися "на віру". У "Принципі суперечності" він не приступає до аналізу цього закону з апріорістських позицій, вважаючи, що "все ж таки погано, коли у філософії існують недоторкані принципи; гірше, якщо ці принципи не обґрунтовані; ще гірше, якщо ці недоторкані і необґрунтовані принципи колись були предметом запеклої суперечки. Як же вийшло, що спірний принцип, якого ніхто не уміє довести, вважається настільки правильним, що і торкнутися його навіть неможливо? Де ж поділася наукова критика, якою ми так пишаємось в епоху критицизму?" ([1910], S.6) Тому Лукасевич вважає для себе неможливим аксіоматично прийняти принцип суперечності, особливо після того, як той став предметом спору, який він лише згадує, не приводячи втім аргументів "за і проти". З приводу Гегеля, котрий також є противником принципу суперечності, а значить в якійсь мірі також ревізуючий цей принцип, Лукасевич пише: "Гегель [...] створив "метафізичну логіку", яка не ґрунтується на принципі суперечності. Але ця спроба була занадто радикальною, нечіткою і неясною, щоб бути зрозумілою і прийнятою". (S.5) І оскільки цей принцип виявився необґрунтованим, Лукасевич приступає до його аналізу.

Робота Лукасевича складається з двох частин: історичної і систематичної. В першій він розрізняє три аспекти принципу суперечності: онтологічний, логічний і психологічний.

Онтологічний принцип суперечності: жоден предмет не може одночасно посідати і не посідати одну і ту ж властивість.

Логічний принцип суперечності: два судження, в одному з яких предмету приписується деяка властивість, а в іншому ця властивість заперечується, не можуть бути одночасно істинними.

Психологічний принцип суперечності: два переконання, яким відповідають два суперечливих судження, не можуть існувати в одній свідомості.

Потім Лукасевич показує, що хоча онтологічне і логічне формулювання принципу не рівнозначні, але для Аристотеля вони тотожні. Лукасевич погоджується з цим поглядом Стагиріта і надалі користується обома формулюваннями, взаємно замінюючи їх. Що ж до психологічного формулювання, то його Лукасевич вважає емпіричним принципом, а тому доказ закону суперечності на підставі апріорних суджень, до яких відносяться також онтологічне і логічне формулювання, неможливий. Критика психологічного принципу суперечності як логічного закону є першим аргументом Лукасевича, котрий піддав сумніву правильність переконань Аристотеля щодо цього принципу. Другим аргументом, який викликав сумнів Лукасевича, служить теза, що можна знайти більш очевидний і простий принцип, ніж принцип суперечності і таким польський логік вважає принцип тотожності. Разом з тим - і це головний докір Аристотелю - Стагиріт не є послідовним, оскільки, з одного боку, він вважає, що принцип суперечності не може бути доказаний, а з іншого - формулює ряд його доказів. На думку Лукасевича всі докази (головним чином апагогічні) не вірні з формальної точки зору. Лукасевич вважає, що непослідовність Аристотеля можна пояснити психологічними мотивами: "Здається, ніхто не відчував сильніше необхідність доказу принципу суперечності, ніж сам Аристотель; однак він не умів і не міг погодитися з цим почуттям переконання, що принцип суперечності як принцип остаточний не може бути доведений. Тим самим він опинився в незручному положенні: заплутався в суперечностях в самому розгляді принципу суперечності". ([1910], S.51-52)

Інші заперечення Лукасевича можуть бути зведені до наступних положень: а) принцип суперечності як закон логіки не є ані достатнім, ані необхідним, бо можна міркувати дедуктивно або індуктивно і робити це несуперечливо; б) принцип суперечності не вдається вивести з дефініції істини або хибності, як не вдається його вивести ані з принципу тотожності, ані з принципу подвійного заперечення; в) можна подати формальний доказ принципу суперечності, використовуючи визначення предмету як чогось, що не володіє суперечливими властивостями, однак цей доказ буде формальним, а не предметним. Оскільки для доказу принципу суперечності потрібно заздалегідь показати, що жоден предмет не є суперечливим, в чому Лукасевич вельми сумнівається, то свою монографію він завершує словами: "Оскільки принцип суперечності предметно не вдається довести, не дивлячись на те, що такий доказ необхідний, то він не має логічної цінності. Натомість він має важливу практично-етичну цінність, будучи єдиним захистом від помилок і брехні. Тому ми повинні його прийняти." ([1910], S.152)

Таким чином виявляється, що для Лукасевича логічна підстава не є єдиним і навіть найважливішим мотивом в рішенні прийняття тих або інших суджень: властивість істинності судження переводиться в етичну площину, як потім виявиться, єдино з метою звільнитися від формальних обмежень, а тим самим і від самого принципу суперечності. В даному випадку етичні мотиви зіграли роль метатеорії.[2]

І нарешті, слід відповісти на питання: яку роль зіграла монографія "Про принцип суперечності у Аристотеля" в процесі формування ідеї багатозначної логіки? На перший погляд вплив цієї роботи може показатися мінімальним, оскільки про неї Лукасевич майже не згадує в своїй подальшій творчості[3]. Одну з таких згадок можна знайти в статті "Про творчість в науці", де в примітці Лукасевич висловлює невпевненість в застосуванні цього принципу до реальних предметів. Більш істотна згадка міститься в прощальній промові від 7 березня 1918 р. В ній Лукасевич вперше публічно без подробиць повідомив про сконструйовану ним систему трьохзначної логіки, а при нагоді пригадав, що вже у "Принципі суперечності" намагався показати, що цей принцип не очевидний, і що в цей час (тобто близько 1910 р.) він пробував сформулювати неаристотелівську логіку, але спроби ці не увінчалися успіхом. Згадки про цю книжку немає навіть в дослідженні, присвяченому силогістиці Аристотеля, хоча може видаватись, що обидві ці роботи служать як би початком і закінченням його творчості в області історії філософії і логіки. Можна припустити, що Лукасевич зайняв позицію, схожу з  відступницькою позицією Леснєвського, керуючись аналогічними мотивами, а саме, він вважав, що робота "Про принцип суперечності у Аристотеля" є метафізичною, надмірно обтяжуючою логіку онтологією. Адже в "логічному періоді" Лукасевич поділяв абсолютно інші погляди на відношення логіки до онтології. Коли він сформулював систему багатозначної логіки, то вважав, що досвід може і повинен вирішити, яка логіка є формальною моделлю світу. Ще пізніше, в період II світової війни, Лукасевич схилявся до погляду, що вибір логіки є справою конвенції. Таким чином, очевидного мотиву повертатися до своєї першої книги у Лукасевича не було. Більш того, пізніше виявилося, що з огляду багатозначної логіки історично більш цікавими були погляди Аристотеля на принцип виключеного третього, ніж на принцип суперечності. Та все ж слід визнати, що ревізіоністські інтенції Лукасевича мало залежали від об'єкту дослідження і були спрямовані на метод міркування. Логічні закони були єдино приводом для виявлення меж упевненості логічних міркувань. Лукасевич пише: "Повинен наступити момент, коли логіки почнуть розглядати взаємні стосунки цих принципів (тобто принципів логіки, у тому числі принципу суперечності.- Б.Д.). [...] Лише тоді виявиться, яке місце серед логічних законів займає принцип суперечності, в чому полягає його правильність і цінність, як далеко протягується дієвість його застосування; тоді виявиться, чи дійсно цей принцип найважливіший за всі і чи є він наріжним каменем всієї нашої логіки, або ж його можна перетворити, а навіть опустити і створити систему неаристотелівської логіки так, як виникла за допомогою перетворення аксіоми про паралельні система неевклідової геометрії." (S.7-8)

Зіставляючи тексти прощальної промови 1918 р. і наведену цитату з "Принципу суперечності" можна однозначно констатувати, що в період 1910-1918 рр. Лукасевич пробував сконструювати неаристотелівську логіку і своє рішення пов'язував з ревізією принципу суперечності. І хоча у "Принципі суперечності" XVI розділ має назву "Неаристотелівська логіка", він не містить нічого, окрім методологічних міркувань про значущість цього принципу. Таким чином, упевнившись в логічній неможливості довести принцип суперечності і в значущості його етичного і практичного аргументування, Лукасевич як би повертається до згаданому вище звіту "Про принцип виключеного середнього", а по суті повертається до метафізичних підстав процесу міркування - до питання про необхідність логічних законів. Щоправда, цю необхідність він побачив в онтології, що і дозволило йому закон виключеного середнього вважати не логічним законом, а металогічним. Виявилося, що неаристотелівська логіка вимагає ревізії принципу двозначності: кожне речення є або істинним, або хибним. Перегляд цього принципу Лукасевич зробив у відомій роботі "Про детермінізм", яка є його ректорською промовою в 1922/23 учбовому році. Він пише: "Саме тому цей принцип і не може бути доведений, що він лежить в основах логіки. В нього можна тільки повірити, а повірить в нього той, кому він здасться очевидним. Тоді я можу цей принцип не визнавати і прийняти, що разом з істинністю і хибністю існують інші логічні оцінки, принаймні ще одна, третя логічна оцінка". ([1922], S.125) Коментуючи вислови Аристотеля про майбутні випадкові події (відома проблема морського бою) Лукасевич приходить до висновку, що Стагиріт сумнівався в універсальності принципу виключеного середнього, тоді як рішучим прихильником двозначності були стоїки на чолі з Хрісиппом. Тому Лукасевич називає нову, трьохзначну логіку не неаристотелівською, а нехрісипповою.

Але перш ніж торкнутися цієї славетної роботи відзначимо резонанс у філософському середовищі, викликаний монографією "Про принцип суперечності у Аристотеля". Просто кажучи, на сторінках журналу "Пшегльонд філозофічний" виникла дискусія. Так, Леснєвський [1912] приєднався до погляду, що принцип суперечності вимагає доказу і запропонував доведення онтологічного характеру. У Котарбінського [1913a], в свою чергу, сумнів викликав принцип виключеного третього і він запропонував, що разом з реченнями хибними і істинними можуть існувати невизначені речення, тобто такі, які сьогодні не істинні, і не хибні, наприклад, речення "завтра я піду гуляти".[4] Невизначені речення пов'язані з фактами, створюваними в майбутньому людською діяльністю, а їх істинність вічна, але не одвічна. Звідси, на думку Котарбінського, жодне судження не може бути одночасно істинним і хибним (принцип суперечності). І разом з тим неможливо, щоб деяке судження не було істинним, а його заперечення було хибним, і якщо дане судження не було хибним, то його заперечення було істинним, оскільки значимий закон: для кожного судження p, p істинне, або p неістинне, або p хибне, або p не хибне; на думку Котарбінського останнє твердження є послабленням закону виключеного середнього.[5] Леснєвський [1913a] наводив аргументи на захист тези, що кожна істина не тільки вічна, але і одвічна, а в [1913] він ставив під сумнів закон виключеного середнього. На думку Леснєвського існують пари речень, які будучи взаємними запереченнями, є хибними, наприклад, "квадратне коло є коло" і "неправда, що квадратне коло є коло". Але Леснєвський, всупереч Котарбінському, захищає принцип двозначності.[6] До проблем, піднятих в "Принципі суперечності у Аристотеля" Лукасевич повернувся тільки в 1918 р. в згадуваній вище промові і в двох коротких рефератах "Про поняття можливості" [1920] і "Про трьохзначну логіку" [1920a].

Таким чином, в двадцяті роки принцип двозначності в роздумах Лукасевича зайняв місце принципу суперечності. Обидва ці закони не можуть бути доведені і тому одержують статус принципів, але на відміну від принципу двозначності принцип виключеного третього не вимагає захисту у вигляді аргументів практичного і етичного характеру, оскільки виявилося, що впровадження до розгляду більше двох істиннісних оцінок дозволяє послідовно будувати логічну систему. Але найбільш значуща відмінність цих принципів в [1910] і подальших роботах Лукасевича полягала на тому, що принцип суперечності трактувався як звичайний логічний закон, а принцип двозначності - як закон металогічний. Тому виявилося, що конструкція нехрісиппової логіки залежить не стільки від набору аксіом, скільки від рішення метатеоретичних питань, бо коли Лукасевич писав "Принцип суперечності", він не розрізняв логіку і металогіку. Сумніву піддавався логічний закон (принцип суперечності) і немає нічого дивного в тому, що він отримав в результаті фрагмент класичної логіки, а не нову, неаристотелівську логіку.

Значення принципу двозначності було пізніше з'ясоване в дослідженнях Лукасевича, Леснєвського і Тарського. В звичайному численні висловів принцип двозначності сформулювати не вдається. Але в більш багатих логічних системах, наприклад, в Прототетиці Леснєвського, або в численні висловів із змінними функторами принцип двозначності є теоремою. Якщо в таких системах прийнято стандартне визначення кон'юнкції, диз'юнкції і заперечення, то наслідком принципу двозначності будуть закони суперечності і виключеного середнього. Наприклад, якщо не приймати того, що заперечення істинного речення хибне, а заперечення хибного речення істинне, то з принципом двозначності узгоджується речення "два речення, що взаємно заперечують одне друге, можуть бути одночасно хибними"; це речення узгоджується з принципом двозначності доти, поки не буде прийнято, що кон'юнкція двох хибних висловів - хибна.[7]

Повертаючись до "семантики" трьохзначної логіки, тобто до проблеми детермінізму відзначимо, що Лукасевич вважав, ніби з принципу двозначності випливає принцип детермінізму, але не навпаки, і подібне ж співвідношення має місце між принципом трьохзначності і принципом індетермінізму, причому під індетермінізмом Лукасевич розумів погляд, згідно якому в майбутньому відносно моменту t можуть виникнути події, не вирішені наперед у момент t. Вирішити ж наперед значення самої "неаристотелівської логіки" Лукасевич не наважується, констатуючи єдино значення теоретичне, тобто як вдалу ревізію теоретичного методу міркування. А оскільки не було з'ясовано семантику такої логіки, то і практичне її значення залишається не вияснене, але для Лукасевича воно має безперечну цінність. Він пише: "Чи буде і яке практичне значення мати нова система логіки - це з'ясується лише тоді, коли в світлі нових логічних законів будуть проведені докладні дослідження логічних явищ, що мають особливе місце в дедуктивних науках, і коли можна буде порівняти з досвідом наслідки індетерміністського погляду на світ, який є метафізичною підставою нової логіки". ([1920], S.131)

В 1922 р. Лукасевич узагальнив трьохзначне числення висловів до логіки, яка має довільне скінчене число істиннісних оцінок. Значення імплікації і заперечення визначалося в ньому наступними співвідношеннями: Cpq = 1 для p£q, Cpq = 1-p+q для p>q, Np = 1 — p, де 0<p, q<1. Якщо ж з відрізка [0,1] використовувати тільки крайні значення, то виходить випадок двозначної логіки. Кажучи узагальнено, приведені співвідношення визначають довільне багатозначне числення висловів Ln, де n - довільне натуральне число не менше 2; L2 - це просто двозначне числення висловів. Тавтологією довільного Ln-числення (для фіксованого n) є формула, що приймає значення 1 для довільного набору значень пропозиціональних змінних. Наступним кроком в узагальненні багатозначної логіки було прийняття у якості істиннісних значень нескінченного числа оцінок, хоча і перераховуємих. В такій системі LÀn. Таким чином, виникає послідовність числень від L2 до LÀ, причому всі Ln (n>2) містяться в L2, тобто все тавтології всіх Ln строго включаються в L2. Для Ln і Lm (n<m) Лінденбаум (Лукасевич, Тарський [1930]) показав, що Lm міститься в Ln, якщо n-1 є дільником m-1. LÀn. співвідношення для С і N такі ж, як в L міститься у всіх скінченозначних L

Дотепер йшлося про матричну конструкцію багатозначних логік. Природно, що в Школі спробували ці числення аксіоматизувати. Вайсберг [1931] довів, що L3 аксіоматизується наступними формулами: CpCqp, CCpqCCqrCpr, CCNpNqCqp, CCCpNppp; правилами виводу є підстановка і відділення. Той же автор висловив гіпотезу (Лукасевич, Тарський [1930]), яку пізніше і довів [1935], що кожне скінченозначне числення Ln аксіоматизується, якщо воно містить наступні формули: CCpqCCqrCpr, CCqrCCpqCpr, CCqrCpp, CCpqCNqNp, CNqCCpqNp. Лукасевич висловив гіпотезу, що Lx аксіоматизується виразами CpCqp, CCpqCCqrCpr, CCCpqqCCqpp, CCCpqCqpCqp, CCNpNqCpq.[8]

Всі наведені аксіоматики виявилися неповними в тому сенсі, що первинних термінів С і N виявилося недостатньо, щоб визначити всі функтори багатозначного числення висловів, причому для кожного Ln (n>2). Річ у тому, що число функцій стрімко росте із зростанням n і, наприклад, для n = 3 число одноаргументних функцій дорівнює 27, а функцій від двох аргументів - 19683. Слупецкий [1936] розв'язав проблему функціональної повноти для L3. Він визначив одноаргументний функтор T такий, що Tx  =  1/2 для довільного x Î {0, 1/2, 1}. Функтори С, N, T визначають всі функтори числення L3. Щоб отримати аксіоматику L3 потрібно до наведених вище аксіом Вайсберга додати формули CTpNTp, CNTpTp.

Всі числення Ln (n>1) несуперечливі. Складніше справа з повнотою. Повноту L3 довів Слупецкий [1939], [1946]. У зв'язку з дослідженнями функції T і питанням повноти (кожна тавтологія належить системі) Слупецкий [1939a] сформулював простий критерій функціональної повноти для довільного Ln: багатозначне числення висловів функціонально повно, якщо первинні терміни цієї системи дозволяють визначити кожний одноаргументний функтор і коли щонайменш один з первинних термінів цього числення, який є функтором двох аргументів, визначається істинніснозначною матрицею з наступними властивостями: а) не всі рядки внутрішньої частини таблиці ідентичні, б) не є ідентичними всі стовпці таблиці, в) у внутрішній частині таблиці повинні знаходитися всі значення, які можуть прийняти аргументи функторів цього числення. Наведені вимоги носять назву критерію Слупецкого.[9] Обговорювані вище числення були системами з одним виділеним значенням. Собоцинський [1936] досліджував числення з двома виділеними значеннями, а Слупецкий [1939] - з k<n виділеними значеннями.

В 30-і роки Лукасевич [1930] оцінював винахід багатозначних логік так: "Я відразу усвідомив, що серед всіх багатозначних систем тільки дві можуть претендувати на філософську значущість: трьохзначна система і система нескінченнозначна. [...] Вважаю, що саме цій останній системі належить першість серед інших".(S.159) І далі: "Все ж таки мені здається, що філософське значення представлених тут систем логіки може бути щонайменш так само великим, як і значення неевклідових систем геометрії". (S.161) Пізніше, в [1953], Лукасевич поміняв свій погляд на філософську значущість трьох- і нескінченнозначних систем логіки. Пропонував також Лукасевич, щоб багатозначні системи числення висловів і предикатів послужили підставою для досліджень в арифметиці і теорії множин. Таким чином, значення цих систем для Лукасевича двояке: філософське і математичне.[10]



[1] Хоча Лукасевич і не уточнює значення поняття правдоподібності, яке повинно було б приписуватися індуктивним виводам, однак його аргумент дуже близький до думки К.Поппера [1934], котрий вважав, що логічна правдоподібність (в значенні Карнапа) універсальних (загальних) речень дорівнює нулю і жодні індуктивні дослідження не можуть змінити цього положення.

[2] Слід зазначити, що домінуючий вплив етично-моральної оцінки над логічною Лукасевич не формулював явно, але він для нього був очевидним, як був він очевидним для Твардовського і всієї Львівсько-Варшавської школи. В цьому мотиві виразно звучить нота нероздільності моральних і гносеологічних цінностей, притаманна відомій сократівскій аксіології.

[3] В цьому зв'язку дослідник Львівсько-Варшавської школи Я.Воленський [1987] свідчить, що знайшов тільки дві згадки про цю роботу після 1910 р.

[4] Більш докладне аргументування Котарбінського див. в § 5 Розділу ІІІ.

[5] Іноді здається, що Котарбінський накладає обмеження на принцип двозначності, а іноді - на закон виключеного середнього. Тому доводиться утриматися від спроб приписати Котарбінському першість в створенні багатозначних логік, хоча вельми ймовірно, що концепція невизначених речень вплинула на хід думок Лукасевича.

[6] Ця дискусія була настільки широко відома у львівському філософському середовищі, що Твардовський в своїх лекціях з етики в 1913/14 академічному році згадував про неї, схиляючись до позиції Леснєвського.

[7] Звичайно, і в багатозначній логіці виникає питання про стосунок принципу двозначності до принципу суперечності, а рівно і до принципу виключеного середнього. Так виявляється, що принцип двозначності може бути поставлений під сумнів по різному, внаслідок чого з'являються різні логічні системи. Наприклад, в трьохзначному численні висловів Лукасевича не мають місця закони суперечності і виключеного середнього, а інтуїціоністське числення посідає закон суперечності, але в ньому не має місця закон виключеного середнього. Річ у тому, що інтуїціоністи свій протест виражали від початків, тобто в металогіці, а коли прийшов час для інтуїціоністської семантики (Гьодель, Гейтінг), то виявилося, що інтуїціоністська система багатозначна. Звичайно, можна нехрісиппову логіку отримати за допомогою виключення деяких законів класичної логіки, але при цьому слід вказувати, що подібні дії приводять і до нехрісиппової семантики. Лукасевич же у "Принципі суперечності" над питаннями семантики не замислювався і поки він так поступав, спроби реформування класичної логіки залишалися безуспішними. І лише подальші метафізичні міркування в роботі "Про детермінізм" можна вважати семантичними міркуваннями implicite.

[8] Воленський [1985] пише, що цю гіпотезу довів Вайсберг, але доказ не був опублікований.

[9] Woleñski [1985], Malinowski [1990].

[10] Звичайно, слід погодитися з думкою Я.Воленського [1985], котрий вважав, що "в даний момент очікування Лукасевича безсумнівно не сповнилися. Багатозначні логіки не зробили революції ні в логіці, ні в математиці, ні у філософії. Втім, вже у Львівсько-Варшавській школі висловлювався сумнів в тому, чи мають конструкції Лукасевича значення в спорі про "детерміністську структуру світу." (Завірський [1931])." (S.122-123).