4.2.2. Модальні логіки

Вже перші виклади трьохзначної логіки в 1920 р. містили явний зв'язок модальності і багатозначності. Лукасевич вважав, що в двозначній логіці не вдасться узгодити інтуїтивні трактування модальних функторів. Ця думка є наслідком трактування формалізації модальностей не як операторів, а як функторів, концептуально зрівняних в правах з логічними знаками. Це своє переконання Лукасевич послідовно виражав протягом всієї своєї наукової творчості. [1]

Перший систематичний виклад модальної логіки подано Лукасевичем в роботі з назвою "Філософські зауваження про багатозначні системи числення речень" [1930]. Щоправда, тут не представлена система модальної логіки як така, але тільки показані вимоги, яким повинна, на думку Лукасевича, задовольняти така система. Модальними реченнями Лукасевич називає наступні чотири вирази:

(1) можливо, що p - символічно: Mp;

(2) неможливо, що p - символічно: NMp;

(3) можливо, що не-p - символічно: MNp;

(4) неможливо, що не-p - символічно: NMNp.

Традиційні твердження про модальності, на думку Лукасевича, можна поділити на три групи. До першої групи відносяться речення наступного виду: (a) Ab oportere ad esse valet consequentia (Якщо що-небудь необхідне, то воно існує); (b) Ab esse ad роsse valet consequentia (Якщо що-небудь існує, то воно можливе); (с) Ab non роsse ad non esse valet consequentia (Якщо що-небудь неможливе, то воно не існує). Спільним представником цієї групи є речення

(I): Якщо неможливо, що p, то не-p.

Другу групу становить твердження Лейбніца з Теодицеї: (d) Unumquodque, quando est, oportet esse (Щоб то не було, коли воно існує - воно необхідне). Лукасевич помічає, що останній вислів насправді походить від Аристотеля і розбирає можливі інтерпретації Стагиріта. В результаті аналізу виявляється, що слово "quando" в реченні (d), як і відповідне йому "hotan" у Аристотеля, є частками, що виражають не умову, але час. Однак часова форма переходить в умовну форму, оскільки в зв'язаних часовими рамками реченнях визначення часу виявляється включеним в зміст речень.

Речення (d) має наступне еквівалентне формулювання

(II): Якщо припускається, що не-p, то неможливо, що p.

Третю групу представляє аристотелівський принцип обопільної можливості

(III): Для деякого p, можливо, що p, і можливо, що не-p.

В символіці числення висловів речення (a)-(c) мають вигляд: (1) CNMpNp, (2) CNpNMp (3) SpKMpMNp (в останню формулу входить знак екзистенціального квантора). Вирази (I)-(III) Лукасевич потрактував як тимчасові аксіоми модальної логіки і виводить з них за допомогою звичайного числення висловів низку наслідків: (5) CpMp, (6) CNpMNp, (7) CNMNpp, (8) CNMNpMp, (9) CNMpMNp, (10) CMpp, (11) CMNpNp, (12) CpNMNp, (13) CMpNMNp, (14) CMNpNMp. Формули (5)-(9) є наслідками (І), а ті, що залишилися - наслідками (ІІ). Деякі з наведених формул очевидні, наприклад, (5), яка стверджує, що то, що існує, можливо. Однак інші вельми сумнівні з інтуїтивної точки зору, наприклад, (10), яка стверджує, що якщо що-небудь можливо, то воно існує. Коротше кажучи, наслідки, отримані з (І), інтуїтивно більш прозорі, ніж наслідки з (ІІ). Аксіома (ІІ) є оберненою до аксіоми (І). Взаємно протилежними є формули (5) і (10), (6) і (11), (7) і (12), (8) і (13), (9) і (14). Тому мають місце еквівалентності EpMp, ENpMNp, ENMNpp, ENMNpMp, ENMpMNp, а поняття можливості і необхідності стають зайвими, оскільки кожне з останніх речень еквівалентно або "p", або "Np". Лукасевич вважає, що причина такого стану справ полягає в неможливості сформулювати в двохзначному численні твердження (ІІ).

Наслідки з твердження (III) також не радують Лукасевича. Використовуючи визначення універсального квантора через квантор екзистенціальний і заперечення з (III) одержуємо

(IV) NПpNKMpMNp.

Застосовуючи до (IV) формулу CKfpfNpfq, яка виводиться в Прототетиці Леснєвського, одержуємо ПpMp, тобто все є можливим, як і ніщо не є неможливим, а однаково і ніщо не є не необхідним. Суттєва ідея цього висновку полягає на тому, що функтор M є функтором в сенсі Прототетики Леснєвського, тобто екстенсіональним функтором. Узявши як засновок (10) CMpp і ПpMp зразу ж одержуємо Пpp. А це значить, що система модальної логіки, заснована на аксіомах (I)-(III) суперечлива, оскільки до її наслідків належить довільне речення. Лукасевич заключає: "З урахуванням цього, спираючись на двозначне числення речень, можна було б вирішити питання модальних речень двояким чином: твердження (I) і пов'язані з ним формули першої групи [...] слід визнати безумовно; в них ніколи не сумнівалися. З тверджень (II) і (III) можна вибрати тільки одне. Якщо ми зважимося на твердження (II) і пов'язані з ним формули другої групи [...], то всі модальні речення стають еквівалентні реченням немодальним, наслідком чого є те, що взагалі не варто вводити в логіку речення модальності; тоді потрібно також відкинути вельми інтуїтивне поняття обопільної можливості як таке, що провадить до суперечності. Якщо ж, навпаки, зважитись на твердження (ІІІ), то ми повинні визнати парадоксальним висновок, що все можливо, і тоді знову ж таки немає сенсу вводити модальні речення в логіку, оскільки потрібно також відмовитися від очевидного твердження (ІІ), щоб позбутися суперечності. Жодне з цих рішень не можна визнати задовільним". (S. 151)

Джерелом цих труднощів є інтерпретація модальних функторів в двозначному численні речень. В цьому численні існує чотири одноаргументні функції: 1) f1 = f0 = 1 (verum від p); 2) f1 = 0 і f0 = 1 (заперечення p); 3) f0 = 0, f1 = 1 (еквівалентність fp і p); 4) f1 = f0 = 0 (falsum від p). Функтор можливості повинен бути ідентичний з однією з вище наведених функцій. Можна показати, що аксіоми (I) - (III) виключають деякі випадки, наприклад, формула CNMpNp істинна, коли Mp = fp (тут f - falsum від p). Але головним аргументом у виборі аксіом є неузгодженість (II) і (III) в тому сенсі, що не існує функції f такої, що Mp = fp, для якої (I) або (ІІ) одночасно істинні. Таким чином, Лукасевичем була показана неможливість безпосереднього введення модальних функторів в двозначне числення висловів як з синтаксичної точки зору, так і з семантичної.

Рішення проблеми модальностей Лукасевич, природно, бачить у використанні трьохзначної логіки, а точніше - в знаходженні в L3 такого визначення можливості, яке б виконувало умови, окреслені в (I)-(III). Перша задовільна дефініція мала вигляд Mp = AENpПqNCpKqNq. Ця досить складна за свідченням самого Лукасевича дефініція повинна бути прочитана наступним чином: можливо, що p значить те, що "або речення p і не-p рівнозначні, або не існує такої пари суперечливих речень, які б випливали з речення p". В більш загальному значенні поняття можливості в L3 запропонував в 1921 р. Тарський: Mp = CNpp. Дефінієнс цього визначення хибний тоді і тільки тоді, коли p = 1/2. З цього визначення і таблиць для С і N одержуємо рівність: M0 = 0, M1/2 = 1, M1 = 1. Згідно цим рівностям, якщо речення p хибне, то хибне також і речення Mp, але Mp істинне, коли p істинне, або p приймає третє значення. Цей результат Лукасевич порахував найбільш узгодженим з інтуїцією. Визначення необхідності має вигляд Lp  =  NCpNp відповідно до загальноприйнятої схеми Lp = NMNp. Закінчуючи свій перший систематичний виклад модальної логіки у дусі логіки багатозначної Лукасевич сповна приймає викладені вище визначення можливості і необхідності: "Рішуче не висловлюючись про інтуїтивний смисл наведеної вище дефініції, ми повинні однак визнати, що ця дефініція задовольняє всім умовам, визначеним в твердженнях (I)-(III), і зокрема, як це довів п. Тарський, що це єдина можлива в трьохзначній системі дефініція, яка виконує ці умови". (Лукасевич [1930], S.156)

Оскільки пізніше Лукасевич повернувся до проблематики модальної логіки, то природно вважати, що перший її виклад не задовольняв його. Новий виклад [1953] модальної логіки Лукасевич починає з викладу умов, яким на його думку повинна задовольняти така логіка:

(1) стверджується імплікація CpMp;

(2) відкидається імплікація CMpp;

(3) відкидається речення Mp;

(4) стверджується імплікація CLpp;

(5) відкидається імплікація CpLp;

(6) відкидається речення NLp;

(7) стверджується еквівалентність EMpNLNp;

(8) стверджується еквівалентність ELpNMNp.

Поняття "твердження" і "відкидання" належать системі і позначаються відповідно "½¾" і "¾½". Перша умова відповідає принципу Ab esse ad роsse valet consequentia. Друга умова відповідає вислову А роsse ad esse non valet consequentia. В третій умові мовиться, що не всі вирази, які починаються з M, стверджуються, оскільки в протилежному випадку Mp було б рівносильне функції "verum від p", яка не є модальною функцією. Четверта умова відповідає принципу Ab oportere ad esse valet consequentia. П'ята умова відповідає вислову Ab esse ad oportere non valet consequentia. В шостій умові мовиться, що не всі вирази, які починаються з NL є твердженнями, оскільки в протилежному випадку Lp було б рівносильне функції "falsum від p", яка не є функцією модальності. Останні дві умови представляють очевидні зв'язки між можливістю і необхідністю.

Лукасевич пропонує для "основної модальної логіки" наступну сукупність формул як аксіом: (A1) ½¾ CpMp, (A2) ¾½CMpp, (A3) ¾½Mp, (A4) ½¾½¾ CLpp, (A6) ¾½CpLp, (A7) ¾½NLp, (A8) ½¾ ELpLNNp. Особливо важливими на думку Лукасевича є аксіоми (A4) і (A8). Оскільки вони вельми схожі, то виникає думка, що вони мають в своїй підставі якийсь загальний принцип, з якого їх можна вивести. А це значить, що "основна модальна логіка" не повна. Це припущення підтверджується тим фактом, що формули MKpqMp, CMKpqMq (якщо можлива кон'юнкція, то можливий кожний з її членів), а також CLKpqLp, CLKpqLq (якщо необхідна кон'юнкція, то необхідний кожний з її членів) незалежні від "основної модальної логіки". Не виводяться з (A1)-(A4) (або ж з (A5)-(A8)) наступні закони, відомі вже Аристотелю: (a) CCpqCMpMq, (b) CCpqCLpLq, (c) CLCpqCMpMq, (d) CLCpqCLpLq. Можна показати, що з (а) виникає (с), а з (b) — (d). Тому слід було розширити "основну модальну логіку", приєднуючи до її аксіом формули (а) - (d). Формули (а) і (с) можна вважати окремими випадками закону екстенсіональності CEpqCfpfq ("f" означає змінний функтор). Приєднуючи (а) до (А1)-(А3) можна довести (А4); аналогічно приєднуючи (с) до (А5)-(А7) можна довести (8). Однак обидві конструкції Лукасевич вважає недостатньо загальними. Остаточне формулювання модальної системи ґрунтується на згадуваному вище результаті учня Лукасевича - Мередіта, котрий стверджував, що L2 і закон екстенсіональності випливають з формули CfpCfNpfq. Остаточно аксіоматика модальної логіки у Лукасевича приймає наступний вигляд: ½¾CfpCfNpfq, ½¾CpMq, ¾½CMpp, ¾½Mp. L-система містить числення висловів L2, але не є двозначною. Лукасевич показав, що адекватною матрицею для L-системи є наступна чотиризначна матриця (1 є виділеним значенням): EMpMNNp з правилами заміни за визначенням (Lx  =  NMNx), підстановки у вираз, що стверджується, підстановки у вираз, що відкидається (якщо а відкидається і а є підстановка b, то b повинне бути відкинуте), відділення для затверджених виразів і відділення для відкинутих виразів (якщо Cxy стверджене, а у - відкинуто, то x також відкинуте). З використанням знака необхідності (A1)-(A4) перетворюються в: (A5)

З того факту, що існують дві опосередковуючи істину і брехню оцінки (2 і 3) не слід робити висновок, що в системі модальної логіки Лукасевича існують два поняття можливості. Тим не менш в L-системі мають місце т.зв. можливості-близнята M і M1. Їх не можливо розрізнити, коли вони виступають окремо, але вони відрізняються, коли входять в одну формулу, наприклад, формули MMp і M1M1p еквівалентні, а формули M1Mp і MM1p не еквівалентні. Цей факт в системі модальної логіки Лукасевича не має інтуїтивної інтерпретації. Чотиризначна матриця взагалі змінила погляд Лукасевича на значення багатозначних логік: якщо раніше він вважав, що вибір належить робити між трьохзначною логікою або нескінченнозначною, то тепер він визнав чотиризначну систему адекватною для вираження поняття можливості.

Деякі неясні питання Лукасевич намагається з'ясувати шляхом порівняння з іншими модальними системами, зокрема, з системою фон Врігта, а не більш відомими системами Л'юіса, оскільки "вони ґрунтуються на т.зв. "строгій імплікації", яка більш сильна, ніж "матеріальна імплікація", що використовується мною" - заключає Лукасевич. (S.293) Він ставить під сумнів т.зв. правило необхідності: якщо x є формулою системи, то Lx - також формула. Лукасевич вважає, що речення є безпосередньо хибним або істинним і не бачить причини, завдяки якій тавтологія повинна бути "більш істинною", ніж "звичайне" істинне речення", а контрадикторне речення "більш хибне", ніж "звичайна" неправда. В цій позиції відчувається вплив Твардовського, підкріплений поглядами Леснєвського. Лукасевич запитує: "Чому ми повинні вводити необхідність і неможливість в логіку, якщо не існують істинні аподиктичні речення? На цей докір я відповідаю, що перш за все ми цікавимося проблематичними реченнями виду Mx і MNx, які можуть бути істинні і використовуватись, хоча їх аргументи і відкидаються, а впроваджуючи проблематичні речення ми не можемо обійти їх заперечень, тобто аподиктичних речень, бо речення обох видів нерозривно між собою зв'язані". (S.295) Важливою для розуміння Лукасевичем поняття можливості є формула CKMpMqMKpq, яка не має місця в системі Л'юіса. Лукасевич розглядає наступний приклад: "Хай n буде цілим додатнім числом. Я стверджую, що наступна імплікація істинна для всіх значень n: "Якщо можливо, що n парне, і можливо, що n непарне, то можливо, що n парне і n непарне". Якщо n = 4, то істинно, що n може бути парне, але не може бути істинною, що n може не бути парним; якщо n дорівнює 5, то істинно, що n може бути непарним, але не є істинною те, що n може бути парним. Обидва засновки ніколи не є одночасно істинними і приклад не може бути спростований". (S.295) Ці міркування показують, що Лукасевич розумів можливість екстенсіонально, тоді як в системах Л'юіса функтори L і M інтенсіональні.

У варшавській логічній школі досліджувалися також системи Л'юіса. Вайсберг [1933] побудував семантику для системи S5 і довів повноту цієї системи і це був перший доказ повноти для систем л'юісівського типу. Собоцинський [1953] довів еквівалентність модальної системи Фейса і системи M фон Врігта, а також модифікацій M` і M`` цієї останньої з системами S4 і S5; тим самим Собоцинський показав, що M, S4 і S5 є різними системами модальної логіки. Разом з тим Собоцинський довів, що в системі Фейса, названою T, існує нескінченно багато модальностей.