Категорії

Дипломні, курсові
на замовлення

Дипломні та курсові
на замовлення

Роботи виконуємо якісно,
без зайвих запитань.

Замовити / взнати ціну Замовити

5.1.2. Теорія істинності А.Тарського

Семантична теорія істинності є найвидатнішим досягненням школи не тільки в області логіки, але перш за все у філософії. В певному, філософському, сенсі, про яке буде сказане нижче, визначення істинності є також і завершенням семантичних досліджень у школі, бо генералізація цього визначення можлива тільки щодо формалізованих мов, семантика яких визначається поняттям моделі, а це останнє є ніщо інше, як математична структура. Таким чином, немає нічого дивного в тому, що Тарський, будучи математиком, до математики ж і редукував визначення істинного речення: тільки в ній поняття істини виявилося універсальним, тоді як в природних мовах воно часткове. Протягом цієї редукції висвітлилася низка питань семантики, які мають перш за все філософське значення у вигляді співвідношення двох згаданих вище парадигм - філософії імені і філософії речення. Однак перш, ніж обговорювати дефініцію істинності, сформульовану Тарським [1933], підемо услід за ним для того, щоб детально простежити мотиви, якими він керувався, створюючи цю конструкцію логічної семантики.

В перші десятиріччя ХХ ст. семантичні поняття (істини, позначення, визначення, виконання і т.п.) сприймалися з підозрою, оскільки міркування з їх використанням часто приводили до антиномій, наприклад, брехуна (Евбуліда), антиномії, що використовує вираз "гетерологічний" (Греллінга-Нельсона) або визначення за допомогою обмеженого числа слів (Рішара). В наслідок цього учені прагнули уникати питань семантики і не виходити за межі синтаксису в своїх дослідженнях. Отримані ж в області семантики результати були сформульовані в неточних поняттях, які використовувались часто інтуїтивно. Тому необхідність створення теорії семантики як точної дисципліни відчувалася дуже гостро. Той факт, що така теорія виникла у Варшаві, не дивує, оскільки головним її прийомом став розподіл предметної мови (мови-об'єкту) і метамови, впроваджене implicite Леснєвським. Більш того, не тільки цей прийом був запропонований Леснєвським, але і саме поле досліджень було значною мірою ним підготовлено. Про це свідчить одна з перших приміток Тарського до роботи "Поняття істини в мовах дедуктивних наук" [1933], в якій він пише: "Зауваження, які я зроблю в цьому контексті, переважно не складають надбання моїх власних досліджень: в них знайшли свій вираз погляди, розвинуті п. Ст. Леснєвським в його лекціях у Варшавському університеті (починаючи з 1919/20 акад. р.), в наукових дискусіях і приватних бесідах; особливо це стосується майже всього, що я скажу про вирази в лапках і семантичні антиномії." (S.4) Крім того, Леснєвському належить також найдокладнішим чином розроблена теорія визначень, як і інші питання семантики, наприклад, денотації (референції) або позначення, які сповна використовує Тарський в своїй праці. Самому ж Тарському належить використання по суті поняття "виконання", яке йому було, ймовірно, "ближче" як математику.

Мету свого дослідження Тарський формулює таким чином: "Дана робота присвячена майже повністю тільки одному питанню: проблемі дефініції істини; її сутність полягає в тому, щоб, маючи на увазі ту або іншу мову, сконструювати по суті вірну і формально правильну дефініцію терміну "істинне речення". Це питання, що відноситься до класичних проблем філософії, викликає чималі труднощі: не дивлячись на те, що існуюче буденне значення цього терміну здається достатньо виразним і прозорим, всі спроби остаточного уточнення його значення закінчувалися дотепер невдачею, а міркування, в яких з'являвся згаданий термін, засновані на інтуїтивних засновках, неодноразово приводили до парадоксів та антиномій (які все ж таки вдавалося більш менш задовільно розплутувати). З цієї точки зору поняття істини поділило долю інших аналогічних понять з області т.зв. семантики мови".  ([1933], S.1)

Вихідним пунктом для Тарського є "семантична дефініція" істини в природній мові, яка максимально наближається до класичного її визначення і яку він запозичив у Котарбінського [1929]:

(1) істинним реченням є речення, яке говорить, що справа виглядає так-то і так і саме так вона виглядає.

Хоча наведений вислів, вважає Тарський, недосконалий як з формальної точки зору, так і з огляду очевидності і однозначності понять, що використовуються в ньому, проте "інтуїтивне значення і загальна інтенція цього вислову здаються достатньо прозорими і зрозумілими; завданням семантичного визначення було б якраз уточнення цієї інтенції та її вираз в бездоганній формі". (S.5) Початковим пунктом для подальших уточнень (1) можуть бути речення, побудовані по наступній схемі:

(2) x є істинним реченням тоді і тільки тоді, коли p.

Схема (2) породжує ряд часткових дефініцій істини, які реалізуються тоді, коли символ "p" замінюється деяким реченням, а "x" - довільною індивідуальною назвою цього речення. Категорією індивідуальних назв, що найчастіше зустрічається і для яких виконується умова (2), є назви в лапках. Прикладом може служити наступний вираз:

(3) "Сніг падає" є істинним реченням тоді і тільки тоді, коли сніг падає.

І тут ми зустрічаємося з першим відхиленням Тарського від концепції радикального номіналізму Леснєвського, яку він спочатку поділяв. Зокрема, Тарський пропонує за допомогою іменування деяких морфологічних категорій мови розуміти вирази в лапках як загальні назви саме морфології, а не довільні класи виразів, визначувані еквіморфністю, "оскільки в наведеній інтерпретації назви в лапках повинні розумітися як загальні імена (а не одиничні), що позначають одночасно як запис, узятий в лапки, так і кожний запис однакової з ним форми. Щоб уникнути подібних дорікань і при цьому не вводити деякі зайві ускладнення в міркування, зв'язані, між іншим, з необхідністю оперувати поняттям еквіморфності, зручно домовитися, що такі терміни як "вираз", "слово", "речення" і т.д. постійно позначатимуть не конкретні записи, а цілі класи записів, еквіморфні з деяким даним записом, і в цьому єдиному значенні потрактувати назви в лапках як індивідуальні імена виразів." (S.6) Однак морфологічні особливості мови можна використовувати explicite (при цьому саме поняття морфології як поняття розташоване вище і таке, що виражає результати, відсовується на задній план), виділивши процес складання назви і тим самим утворити для індивідуальних назв речень "т.зв. структурно-описові імена", виділивши знаки, з яких складений десигнат даного імені. Наступний приклад ілюструє використання структурно-описової назви:

(4) Вираз, складений з двох слів, перше з яких складається з наступних чотирьох букв: ес, ен, і, ге, друге - з наступних п’яти букв: пе, а, де, а, є є істинним реченням тоді і тільки тоді, коли сніг падає.

Не дивлячись на те, що конкретизація схеми (2) в питанні очевидності і інтуїтивності не викликає сумнівів, проте в деяких ситуаціях схема (2) стає джерелом антиномії брехуна (її Тарський приводить у формулюванні Лукасевича). Хай символ "c" є скороченням для наступного речення:

(5) "Речення, написане в [29] рядку зверху".

Розглянемо речення

(6) "с не є істинним реченням".

В результаті застосування схеми (2) до (6) отримаємо:

(7) "с не є істинним реченням" є речення істинне тоді і тільки тоді, коли с не є істинним реченням.

Пам'ятаючи про значення символу "c" можна сформулювати наступне твердження:

(8) "с не є істинним реченням" ідентичне з с.

Зіставлення (7) і (8) негайно приводить до суперечливого висновку:

(9) с є істинним реченням тоді і тільки тоді, коли с не є істинним реченням.

Джерелом антиномії служить підстановка замість символу "p" в (2) виразу, який містить термін "істинне речення", але Тарський зауважує, що розумного мотиву, за яким подібні підстановки повинні були б бути принципово заборонені, не видно." (S.7) Залишаючи осторонь сформульовану вище антиномію, Тарський пробує узагальнити речення типу (3) так, щоб все ж таки отримати дефініцію істини. Для цього необхідно отримати таку схему, яка б охоплювала всі речення типу (3). Такою схемою могла б бути наступна конструкція:

(10) Для довільного p - "p" є істинним реченням тоді і тільки тоді, коли p.

Однак (10) ще не має бажаного узагальнення, бо область можливих підстановок "x" обмежена назвами в лапках. Для її розширення Тарський використовує той факт, що кожному істинному реченню (і взагалі кожному реченню) відповідає ім'я в лапках, яке позначає саме це речення:

(11) Для довільного x - x є істинним реченням тоді і тільки тоді, коли - для деякого p - x ідентичне з "p" і p.

В такому використовуванні назв в лапках Тарський також бачить небезпеку. Назви в лапках можна розуміти як прості вирази, тобто як синтаксично не складені. Тоді кожна назва в лапках є індивідуальною назвою деякого конкретного виразу. Тарський зауважує, що така інтерпретація добре узгоджується з інтуїцією, але тоді часткові дефініції типу (3) неможливо яким-небудь розумним способом узагальнити. Зокрема, в (2) і (3) виявляється неможливим що-небудь підставити замість "p", бо підстановка відбувається на місце змінної, а "p" такою не є. Неможливо використовувати також і структурно-описову назву (як в (4)), бо і воно також є індивідуальною назвою.

Можна назви в лапках розуміти як складні вирази, в яких лапки є функтором від аргументів-речень, значеннями якого будуть імена. Але і це рішення, вважає Тарський, незадовільне: лапки не є екстенсіональним функтором і вираз (11) не може бути прийнятий прихильниками елімінації інтенсіональних виразів, до яких і він сам належить, будучи у згоді з "ідеологією" варшавської школи. Але і крім цього трактування лапок як функцій загрожує антиномією брехуна навіть без використовування терміну "істинне речення". Хай "c" є друкарським скороченням виразу

(12) Речення, записане на цій сторінці в [31] рядку зверху.

Візьмемо до уваги речення

(13) Для довільного p, якщо с ідентичне з реченням "p", то не-p.

Емпіричним шляхом встановлюємо, що:

(14) Речення "для довільного p, якщо с ідентичне з реченням "p", то не-p" ідентичне з с.

Не викликає сумнівів і наступне речення:

(15) Для довільних p і q, якщо речення "p" ідентичне з реченням "q", то p тоді і тільки тоді, коли q.

Вирази (14) і (15) негайно приводять до суперечності, а значить трактування "p" як функції від аргументу p містить непереборні перешкоди.

Отже, безпосереднє рішення задачі побудови дефініції істинного речення, яке полягає на тому, що речення іменується терпить крах: назва, що безпосередньо виражає результат процесу судження, не може бути використана, навіть якщо це не ім'я істини, а лише речення. Підводячи підсумки першого етапу побудови бажаної дефініції Тарський заключає, "що спроба побудови правильної семантичної дефініції виразу "істинне речення" стикається з істотними труднощами. Ми не знаємо навіть загального методу, який дозволив би встановити значення довільного конкретного звороту типу "x є істинне речення", де замість "x" виступає яке-небудь індивідуальне ім'я речення". (S.12) Таким чином, використовування індивідуальних назв речень, кажучи неточно, не піддається узагальненню, не розповсюджується на процеси, чи то інтралінгвістичні процеси складання назви речення, чи то екстралінгвістичні процеси, про які щось в речення мовиться. І Тарський приходить до єдино правильного висновку: уточненню підлягають не результати, виразом яких є індивідуальні імена, а процеси, перш за все інтралінгвістичні, які можна було б уточнити, використовуючи логічні закони.

Тим самим наступною спробою Тарського є "спроба побудови структурної дефініції", тобто такої дефініції, яка б дозволила встановити, що речення, яке посідає певні структурні властивості, є істинним, а також істинними будуть речення, які вдасться отримати за допомогою описаних структурних перетворень. Під структурними властивостями і структурними перетвореннями Тарський розуміє такі властивості і такі перетворення, які можна описати в мові логічного синтаксису. Однак висновок, до якого приходить Тарський, одразу ж випливає з "ідеї", настільки очевидним він йому здається: "Звідси задум: встановити достатньо багато і достатньо сильних і загальних законів цього типу так, щоб кожне речення підпадало під один з цих законів; таким чином ми прийшли б до загальної структурної дефініції істинного речення. Однак і цей шлях мені здається майже безнадійним, принаймні щодо природної мови. Природна мова не є чимось "готовим", завершеним, з виразно окресленими границями; не встановлено, які вирази можна включати в цю мову, а тим самим які в деякому розумінні вже "потенційно" їй належать [...]. Спроба побудови структурної дефініції терміну "істинне речення" в застосуванні до природної мови натрапляє на труднощі, які не вдається подолати." (S.13). Про причини цих труднощів Тарський говорить так: "Характерною рисою природної мови (на відміну від різних наукових мов) є її універсалізм: було б в незгоді з духом цієї мови, якби в якій-небудь іншій мові з'являлися б вирази або звороти, які не вдається перекласти на природну мову; "якщо про що-небудь можна взагалі осмислено говорити, то про це можна говорити і в природній мові". Культивуючи ці універсалістські тенденції природної мови стосовно семантичних міркувань, ми повинні послідовно включати в мову разом з довільними її реченнями або іншими виразами також і назви цих речень і виразів, речення, що містять ці імена, потім такі семантичні вирази як "істинне речення", "ім'я", "позначає" і т.д. З другого боку, саме цей універсалізм природної мови в області семантики, імовірно, є суттєвим джерелом всіляких т.зв. семантичних антиномій, таких як антиномія брехуна або антиномія гетерологічних імен; ці антиномії, здається, просто показують, що на основі кожної мови, яка була б у вищезгаданому сенсі універсальною, і яка при цьому підпорядковувалась би нормальним законам логіки, повинна з'явитися суперечність. [...] Якщо наведені вище зауваження правильні, то сама можливість послідовного оперування (і при цьому такого, що знаходиться у згоді з принципами логіки і духом природної мови) виразом "істинне речення" і, що з цього виникає, можливість побудови якої-небудь правильної дефініції цього виразу, здається, вельми проблематичною." (S.14-15)

Таким чином, усвідомивши, що в природній або в універсальній мові в тому сенсі, що вона є сумішшю мов різних типів, що частково виражається в мішанині процесів і результатів як інтралінгвістичних, так і екстралінгвістичних, не вдається побудувати дефініцію істини, Тарський звертається до формалізованих мов і конструює для них дефініцію істини.

Формалізація мови полягає на тому, що подається або ж ефективно описується список елементарних виразів, а також правила утворення складних виразів, і перш за все речень. Оскільки формалізовані мови утворені з наміром їх використання в дедуктивних науках, то до опису структури мови, як правило, додається список аксіом даної дисципліни і правила виводу, що приводить до загального поняття твердження в цій дисципліні. Для дослідження деякої формалізованої мови L необхідна метамова ML, яка повинна бути достатньо багатою, тобто повинна містити імена виразів мови, а також загальнологічні символи (квантори, зв'язки між реченнями і т.д.), за допомогою яких в ML формулюються твердження про L. Вимога формалізації самої метамови ML не висувається, а разом з тим ніщо не заважає її формалізувати, але тоді необхідно буде це робити у відповідній метаметамові MML.

Категорія назв виразів в ML двозначна в тому сенсі, що крім власне назв виразів мови, вона містить ті ж назви "структурно-описового характеру", тобто стосовно мови алгебри класів, яку розглядає Тарський - "назви конкретних знаків і виразів мови алгебри класів, назви класів і послідовностей таких виразів, а також виникаючих між ними структурних відношень". Тарський виразно підкреслює: "Та обставина, що кожному виразу (а особливо реченню) даної мови можна підпорядкувати в метамові, з одного боку, деяке індивідуальне ім'я цього виразу, з іншого ж боку - деякий вираз, що є перекладом даного виразу на метамову, ця обставина грає вирішальну роль в конструюванні дефініції істини." (S.23) Той факт, що не тільки переклад речення на метамову, але і індивідуальна назва цього речення в метамові має характер структурно-описовий, тобто характер процесу, цей факт зіграє вирішальну роль при узагальненні часткових умов істинності, яка полягає на тому, що дефініція буде сформульована в термінах процесу, а саме, процесу виконання. До цієї особливості дефініції істинності ми повернемося при обговоренні її філософського аспекту. Зараз же звернемо увагу ще на одну трудність, перешкоджаючу розповсюдженню часткової умови істинності до статусу універсальної характеристики істинного речення, не дивлячись на те, що мова нашого розгляду формалізована, а не природна. Трудність ця пов'язана з нефінітним характером утворення виразів в метамові. Тарський пише: "Тут в гру вступають достатньо виточені моменти. Вирази звикло розуміються як витвори людської діяльності (відповідно як класи таких витворів); при такому розумінні припущення, що існує нескінченно багато виразів, здається явною безглуздістю. Однак існує можливість іншої інтерпретації терміну вираз: а саме, можна було б вважати виразами різні фізичні тіла певної форми і величини. Тоді центр тяжіння проблеми переноситься у фізику [...]”. ([1933],S.25) Очевидно, Тарський з таким рішенням погодитись не може і більше концепцію радикального номіналізму не зачіпає, використовуючи імена класів і множин, зокрема множину "Vr" істинних речень. В якійсь мірі нефінітний характер утворення виразів буде компенсований прийняттям обмеженої області предметів, про які роблять висловлення, але зараз для формулювання часткової дефініції істини у вигляді умови для визначення символу "Vr", прийнятого рішення достатньо.

Умови адекватної дефініції істини уточнює формулювання, яке до історії логічної семантики увійшло як конвенція Т:

"Формально правильною дефініцією символу "Vr", сформульованою в термінах метамови, називатиметься дефініція істини по суті, якщо з неї випливають:

(a) всі речення, які вдається отримати з виразу "x Î Vr тоді і тільки тоді, коли p" за допомогою заміни символу "x" структурно-описовою назвою довільного речення даної мови, а символу "p" - виразом, який є перекладом цього речення на метамову;

(b) речення "для довільного x - якщо x Î Vr, то x Î "L" (або іншими словами "Vr Í L")." (S.40)

Умова (a) постулює отримання з дефініції істини кожного речення, яке є частковою дефініцією істини, тобто всяку еквівалентність виду "x істинно тоді і тільки тоді, коли P", де P є перекладом речення p на ML (такий переклад можливий з уваги на зроблені припущення про ML). Умова (b) встановлює приналежність властивості "бути істинним реченням" виключно реченням; в сучасних формулюваннях конвенції Т ця умова опускається.

Однак і у разі формалізованих мов дефініція істинного речення виявляється частковою, бо у нас немає упевненості в її застосовності до всіх речень, число яких нескінченне. Тарський висуває ідею застосування "рекурентного методу" для того, "щоб вказати всі операції, за допомогою яких прості речення з'єднуються в більш складні і встановити як істинність, відповідно хибність більш складних речень залежить від істинності, відповідно хибності простих речень, що входять до їх складу". (S.41) Але і цей шлях, вважає Тарський, натрапляє "на вельми істотну перешкоду: навіть поверхневий аналіз [...] показує, що в загальному випадку більш складні речення зовсім не є поєднанням більш простих: пропозиціональні функції дійсно виникають цим шляхом з елементарних функцій, тобто як включення, речення ж ми отримуємо як деякий спеціальний випадок пропозиціональних функцій. При такому стані речей не видно методу, який би дозволив визначити безпосередньо дане поняття шляхом рекуренції." (S.41)

В цьому місці своїх міркувань Тарський робить вирішальний крок: він знаходить "поняття більш загальної природи, яке будучи застосовано до довільних пропозиціональних функцій, вже вдається визначити рекурентно, а застосоване до речень, воно приводить нас опосередковано до поняття істинності; а саме, цим умовам задовольняє поняття виконання даної пропозиціональної функції даними предметами, а в даному випадку - даними класами індивідів." (S.41). В останній цитаті необхідно відзначити два зроблені Тарським уточнення: по-перше, він вважає поняття виконання більш загальним, ніж поняття істинності, з чим важко погодитися, і, по-друге, справедливо указує на опосередкований характер цього поняття. Не будучи філософом Тарський міг і не знати, не відчувати клімату тієї наукової атмосфери, яка наповнювала львівське оточення Твардовського і яку відрізняла антична нота неподільності моральних і пізнавальних цінностей. Твардовський [1895b] писав: "Неважко помітити, що протилежності між істиною і хибністю, між прекрасним і огидним, між добром і злом вдається представити як окремі види однієї загальної протилежності; такою є протилежність між тим, що ми називаємо правильним, і тим, що називаємо неправильним". (С.214). Зокрема, правильними називалися дії, вчинки, процеси, у тому числі і процес судження, який, якщо був правильним формально і матеріально, то приводив до істинного судження. Неважко помітити, що наведені Твардовським категорії виражають оцінки, тобто результати процесів, які відносяться відповідно до логіки, естетики і етики. В світлі ж роботи Твардовського "Про дії і результати" категорії кожної науки можуть бути представлені в термінах дії і результату, які є різними іпостасями одного і того ж сприйняття, тоді як характеристика "правильності" або "неправильності", дійсно, не належить одному рівню, а розташована вище.

Поняття виконання або невиконання, що використовуються Тарським, у будь-якому випадку означають дію, правильну в першому випадку і неправильне в другому, але в усіх випадках ці характеристики відносяться до дій, тоді як логіка (і всяка інша наука) мають справу з результатами (методологія, що має справу з діями, бере їх до уваги також з позиції одержуваних результатів). Таким результатом буде оцінка дії вислову, тобто істиннісне значення "істина", або "фальш". Тут можна помітити, що опосередковуючим елементом виявляється не поняття дії виконання, а поняття оцінки, істиннісного значення, або поняття "істинного речення" в термінології Тарського. Таким чином, Тарський переходить від розгляду результату дії до самої дії і формулює умови, коли ці поняття виявляються еквівалентними.

Загальний метод побудови адекватної дефініції істинного речення Тарський демонструє на прикладі мови теорії класів. Реконструкція цього прикладу обтяжена технічними подробицями і тому абрис методу Тарського представимо в мові предикатів першого порядку. Ця мова містить множину індивідних змінних, яка перераховується, предикати (довільної, але скінченої арності), логічні знаки і квантори. Як вже вказувалося, основним засобом при формулюванні дефініції істини є поняття виконання пропозиціональної функції послідовністю предметів з області M = <U,R>, де U - непорожня множина, а R - множина відношень, визначених на U. Хай Q означає відповідність, що зіставляє предикату Pi, який належить L (в нашому випадку це мова числення предикатів), відношення ri з R. Згадана вище послідовність предметів - це така нескінченна послідовність об'єктів, які належать U, що k-ий член цієї послідовності відповідає змінній xk. Скажемо, що дана послідовність с виконує формулу Pi(x1,...,xj) тоді і тільки тоді, коли серед предметів <a1,...,aj), що належать U, має місце відношення ri, яке відповідає предикату Pi за допомогою співставлення Q. Розглянемо формулу ri(a1,...,aj), яка в ML виражає той факт, що кортеж <a1,...,aj> належить відношенню ri. Хай символ Pri буде назвою (в ML) предиката Pi, а символ vk - назвою (в ML) змінної xk. Тоді можна сказати, що послідовність с виконує формулу Pri(v1,...,vj) при відповідності Q(x) тоді і тільки тоді, коли ri(a1,...,aj), причому ліва сторона цієї еквівалентності задовольняє умовам конвенції Т. Таким чином, ми отримали визначення поняття виконання для простих виразів (атомних формул), і разом з тим умову індукції для узагальнення дефініції виконання. Для формулювання загальної дефініції припустимо, що змінні H1, H2... пробігають множину структурно-описових назв формул в мові L. Послідовно визначаємо: (а) послідовність с при відповідності Q виконує формулу ù Hi тоді і тільки тоді, коли послідовність с не виконує Hi; (b) послідовність с при відповідності Q виконує формулу Hi®Hj тоді і тільки тоді, коли послідовність с не виконує формулу Hi , або виконує формулу Hj; умови для кон'юнкції, диз'юнкції і еквівалентності будуються аналогічно; (c) послідовність с при відповідності Q виконує формулу "vkHi тоді і тільки тоді, коли формула Hi виконується кожною послідовністю c`, відмінною від послідовності с принаймні на k-ому місці.

При припущенні, що формула Hi не містить вільних змінних, тобто є реченням, з дефініції виконання одразу випливає, що в цьому випадку Hi виконується в M будь-якою послідовністю або жодною. Це зауваження відкриває шлях до генералізації дефініції істини (щоправда, стосовно області M, релятивізація до якої була передбачена в ML):

Речення Hi істинне в області M тоді і тільки тоді, коли речення Hi виконується кожною послідовністю предметів з універсуму області M.

Для конкретного речення з L права сторона дефініції є просто перекладом цього речення в ML. І саме тому дефініція істини є адекватною в сенсі конвенції Т, оскільки на цій підставі можна довести будь-яку еквівалентність, яка є частковою дефініцією істини; права сторона дефініції істини забезпечує переклад даних речень на метамову.

Адекватність дефініції Тарського підтверджується низкою метатеоретичних тверджень, пов'язаних з поняттям істинності. Так на основі своєї дефініції Тарський доводить металогічний принцип суперечності, металогічний принцип виключеного середнього, а також твердження, що клас істинних речень є несуперечливою і повною дедуктивною системою.

Семантична дефініція істини може бути застосована до широкого класу формалізованих мов, але не до всіх. Зокрема, вона не може бути використана в мовах, які містять нескінченну ієрархію логічних типів, або ж в Прототетиці Леснєвського. До мов цього типу стосується твердження Тарського про неможливість визначення істини:

(a) Як би не був визначений в метатеорії символ "Vr", що позначає деякий клас виразів, як наслідок такої дефініції може бути отримано заперечення однієї з еквівалентностей, про яку говорить конвенція Т.

(б) Якщо клас всіх тверджень метатеорії несуперечливий, то в цьому випадку неможливо сконструювати дефініцію істини в сенсі конвенції Т.

Тарський припускає, що зазначені труднощі можна подолати двояким способом, але обидва шляхи він вважає сумнівними. По-перше, можна прийняти, що в мову метатеорії введений символ "Vr", а аксіоми метатеорії розширені додаванням всіх можливих речень, описаних в конвенції Т; розширений таким чином клас речень метатеорії несуперечливий, якщо були несуперечливі її попередні твердження. По-друге, метатеорію можна підсилити, додаючи правила нескінченної індукції. Але в першому випадку метатеорія стає неповною і нецікавою внаслідок відсутності загального твердження про істинність, а в другому - виникає сумнів, чи зберігають правила нескінченної індукції несуперечність. Таким чином, обидва способи "нейтралізації" твердження про невизначеність істини достатньо сумнівні.

Німецький переклад [1935b] роботи про поняття істини містить нові результати. Зокрема там подано твердження про невизначеність істини у формалізованій системі, яка містить арифметику натуральних чисел. Уточнив Тарський і загальні умови, яким повинна задовольняти метамова ML, щоб в ній можна було сконструювати ("формально і матеріально правильну") адекватну дефініцію істини, а саме, ML повинна бути мовою більш високого типу, ніж L, бо інакше в ML не вдається сформулювати дефініцію істини для L.

Свою концепцію істини Тарський сформулював в той період, коли Гьодель [1931] показав, що кожна формалізована дедуктивна система, яка містить арифметику натуральних чисел, неповна. Тарський ([1933], S.97) повідомляє, що твердження про невизначеність поняття істинного речення у версії [1933] було ним сформульовано вже під час друкування книжки замість припущення, що таке твердження може мати місце; Тарський признає, що зміни були ним внесені під впливом результату Гьоделя. Поза сумнівом, між твердженням Тарського і твердженням Гьоделя існує тісний зв'язок: неможливість сформулювати дефініцію істини однозначно підказує метод доказу твердження Гьоделя. Вже після війни Тарський (Tarski, Mostowski, Robinson [1953]), узагальнюючи свої ранні концепції, виробив загальний метод нерозв'язності формалізованих теорій. Щоправда, в [1933] зустрічається твердження, що множина речень алгебри класів, яка може бути доведена, є несуперечливою і не повною, проте це твердження не є аналог теореми Гьоделя, не говорячи вже про те, що Тарський взагалі не поставив питання про можливу несуперечність даної теорії у межах цієї ж теорії. Крім того, між методами Гьоделя і Тарського є істотна відмінність: Гьодель подав конструктивний доказ неповноти і неможливості довести несуперечність арифметики у межах самої арифметики, тоді як методи Тарського були нефінітні. З результатів Тарського [1936a] виникає, що для використання семантики достатньо багатих математичних теорій необхідно в метамові припустити наявність теорії множин, що рівносильне використовуванню нефінітних методів. Таким чином виявилося, що результат Гьоделя був фальсифікацією програми Гільберта у межах самої програми, тоді як дослідження Тарського із самого початку виходили за межі цієї програми. В цьому значенні результати Тарського і Гьоделя важко порівнювати, бо таке порівняння лише вказує на глибоку відмінність семантичних і синтаксичних методів.

Значущість теорії істини в розвитку логіки підтверджується її основоположним характером в теорії моделей.