14.3.2. Побудова числової економіко-математичної моделі та розв’язання задачі

14.3.2. Побудова числової економіко-математичної моделі та розв’язання задачі

На основі описаної економіко-математичної задачі оптимізації виробничих витрат побудуємо й розв’яжемо числову економіко-математичну модель на прикладі умовного фермерського господарства. В табл. 14.1 показано основні параметри цього господарства, виходячи з яких розроблені техніко-економічні коефіцієнти та константи задачі. В табл. 14.2 визначено види й номери змінних і констант, необхідні для побудови моделі, а в табл. 14.3 ¾ техніко-економічні коефіцієнти, зокрема обсяги й календарні строки виконання робіт у найбільш напружені періоди виробничого циклу, обсяги умовної оранки, затрати праці за культурами й вартість садивного матеріалу в розрахунку на гектар, планову врожайність сільськогосподарських культур, потребу в мінеральних добривах за їхніми видами та в паливно-мастильних матеріалах на гектар, обсяги транспортних робіт, витрати на капітальний і поточний ремонти й техдогляди у розрахунку на гектар, затрати праці у фермерському господарстві, в тому числі у найбільш напружені періоди робіт, вихід товарної продукції з гектара посівних площ, реалізаційні ціни центнера продукції та грошові надходження.

Таблиця 14.1

ПАРАМЕТРИ СЕЛЯНСЬКОГО ГОСПОДАРСТВА

Таблиця 14.2

До основних констант моделі слід віднести загальну посівну площу (9,5 га), річний фонд робочого часу фермера та членів його сім’ї (5000 люд.-год), їхній місячний фонд робочого часу (417 люд.-год), річний еталонний виробіток трактора МТЗ-80 (1800 ум.-еталон. га), суму готівки, яку фермер може використовувати у процесі виробництва протягом року (23 тис. грн), наявність грошових коштів з урахуванням короткострокових банківсь-
ких позик для придбання оборотних засобів (500 тис. грн). Маючи необхідні техніко-економічні коефіцієнти і константи, побудуємо числову економіко-математичну модель, яка має такий вигляд:

1. Обмеження за використанням ріллі:

Х1 + Х2 + Х3 + Х4 + Х5 + Х6 + Х7 - Х8 < = 0.

Дане обмеження означає, що загальна площа посіву не може бути більшою ніж 9,5 га.

2. Обмеження дотримання сівозмін:

Х1 + Х2 - Х3 - Х4 - Х5 - Х6 - Х7 < = 0,

яке показує, що площа посіву під картоплею, помідорами, огірками та іншими овочами не може бути більшою за площу посіву зернових культур.

3. Обмеження за питомою вагою помідорів у структурі посівних площ:

Х4 - 0,05Х8 < = 0.

Оскільки помідори є найбільш трудомісткою культурою, вводиться умова, що в структурі посівних площ вони не можуть перевищувати певної питомої ваги. У нашому прикладі це 5 %.

4. Обмеження за азотними добривами:

45Х1 + 40Х2 + 120Х3 + 90Х4 + 120Х5 + 60Х6 + 70Х7 - Х9 = 0.

5. Обмеження за фосфорними добривами:

55Х1 + 40Х2 + 90Х3 + 120Х4 + 120Х5 + 90Х6 + 80Х7 - Х10 = 0.

6. Обмеження за калійними добривами:

45Х1 + 40Х2 + 150Х3 + 90Х4 + 120Х5 + 90Х6 + 100Х7 - Х11 = 0.

7. Обмеження за обсягом механізованих робіт:

4Х1 + 3,8Х2 + 3,9Х3 + 28Х4 + 3,9Х5 + 35Х6 + 30Х7 - Х12 < = 0
при Х12 = 1800.

Воно означає, що загальний обсяг механізованих робіт у фермерському господарстві не може бути більшим за річну продуктивність трактора МТЗ-80, яка становить 1800 га умовної еталонної оранки.

8. Обмеження за використанням робочого часу:

15Х1 + 9,4Х2 + 175Х3 + 1040Х4 + 320Х5 + 765Х6 + 300Х7 - Х13 - Х14 = 0

при Х13 = 5000,

де 5000 люд.-год ¾ річний фонд робочого часу фермера й членів його сім’ї.

9. Обмеження за найбільш напруженим періодом використання робочого часу (піковим):

2,1Х1 + 2,8Х2 + 70Х3 + 312Х4 + 16,5Х5 + 38,3Х6 + 60Х7 - Х15 - Х31 = 0

при Х15 = 160; Х31 = 417, Х14 - Х15 > = 0,

де 417 люд.-год ¾ середньомісячний фонд робочого часу фермера та членів його сім’ї, 160 люд.-год ¾ можливі затрати праці залучених працівників у піковий період сільськогосподарських робіт.

10. Обмеження за оплатою праці залучених працівників:

10Х14 - Х16 = 0.

11. Обмеження за витратами на садивний матеріал:

1840Х1 + 1980Х2 + 92 000Х3 + 28 000Х4 + 2000Х5 + 7700Х6 +
+ 25 000Х7 - Х17 = 0.

12. Обмеження за вартістю мінеральних добрив:

11Х9 + 9Х10 + 6Х11 - Х18 = 0,

де коефіцієнти показують вартість кілограма діючої речовини відповідного виду добрив.

13. Обмеження за витратами пального:

113,1Х1 + 101Х2 + 221Х3 + 394,7Х4 + 429,4Х5 + 400,2Х6 +
+ 350Х7 - Х19 = 0.

14. Обмеження за вартістю пального:

50Х19 - Х20 = 0.

15. Обмеження за обсягами транспортних робіт:

20Х1 + 15Х2 + 170Х3 + 80Х4 + 160Х5 + 90Х6 + 110Х7 - Х21 = 0.

16. Обмеження за вартістю транспортних робіт:

10Х20 - Х22 = 0,

де коефіцієнт показує вартість одного тонно-кілометра.

17. Обмеження за витратами на капітальний ремонт трактора й сільськогосподарських машин:

64Х1 + 61Х2 + 63Х3 + 448Х4 + 63Х5 + 560Х6 + 480Х7 - Х23 = 0.

18. Обмеження за витратами на поточний ремонт трактора й сільськогосподарських машин:

80Х1 + 76Х2 + 78Х3 + 550Х4 + 75Х5 + 700Х6 + 600Х7 - Х24 = 0.

19. Обмеження за витратами на технічне обслуговування й заміну гуми:

100Х1 + 152Х2 + 156Х3 + 1120Х4 + 157Х5 + 1350Х6 + 180Х7 - Х25 = 0.

20. Обмеження за іншими виробничими витратами:

105Х1 + 110Х2 + 1250Х3 + 1140Х4 + 310Х5 + 1115Х6 + 280Х7 - Х26 = 0.

21. Обмеження за грошовими надходженнями:

14 400Х1 + 14 400Х2 + 368 000Х3 + 1 280 000Х4 + 297 000Х5 +
+ 1 350 000Х6 + 180 000Х7 - Х27 = 0.

22. Обмеження за використанням готівки:

Х16 - Х28 < = 23 000.

23. Обмеження за наявними коштами для придбання оборотних фондів:

Х16 + Х17 + Х18 + Х20 + Х22 + Х23 + Х24 + Х25 + Х26 - Х29 = 0

при Х29 < = 500 000.

24. Обмеження за валовим прибутком:

Х27 - Х16 + Х17 + Х18 + Х20 + Х22 + Х23 + Х24 + Х25 + Х26 = 0.

Цільова функція моделі має такий вигляд:

Х10 + Х17 + Х18 + Х20 + Х22 + Х23 + Х24 + Х25 + Х26 ® min.

У табл. 14.3 подано результати розв’язання задачі з використанням ПК. Задача розв’язувалася за чотирма варіантами залежно від змін окремих обмежень моделі. Так, варіант 2 передбачав скасування обмеження за дотриманням сівозмін, варіант 3 ¾ скасування обмеження за мінімумом коштів на  придбання оборотних фондів, варіант 4 ¾ скасування обох названих вище обмежень.

Аналізуючи розв’язання задачі за різними варіантами моделі, можна дійти висновку про доцільність здійснення тих чи інших заходів (попередньо проімітувавши їх у моделі) за умов оптимізації виробничих витрат і максимізації рівня ефективності господарювання. У нашому прикладі доцільним є варіант 3 моделі, оскільки він забезпечує дотримання майже всіх вимог базової моделі. Варіанти 2 і 4 моделі є недоцільними з причин порушення сівозмін і високої інтенсивності використання наявних трудових ресурсів. Пояснюється це тим, що вирощування овочів в умовах селянських господарств здійснюється переважно вручну, й тому з такою концентрацією виробництва трудомісткої продукції фермерське господарства не зможе справитися.

Результатом розв’язання задачі є також одержання значень двоїстих оцінок обмежень, які показують, наскільки зміниться сума операційних виробничих витрат у разі зміни змінної на одиницю її розмірності. Цю інформацію використовують не тільки для поточного та перспективного планування, а й для прийняття управлінських рішень.

За результатами розв’язання задачі, використовуючи значення двоїстих оцінок, можна дати відповідь на низку важливих запитань, що стосуються функціонування фермерського господарства:

1. Чи доцільно додатково орендувати землю та яка гранична орендна плата за гектар землі може бути виплачена орендодавцю?

2. Чи доцільно залучати додаткову робочу силу для роботи в господарстві та яку максимальну оплату праці однієї людино-години може допустити фермер?

3. Яка гранична ціна, з позиції мінімального рівня прибутковості господарювання, може бути за одиницю купованих матеріальних ресурсів (добрив, пального, насіння тощо)?

4. Як зміниться прибуток у результаті зміни потужності трактора, що використовується у господарстві?

5. Як зміниться прибуток, якщо замість оранки з повним обертом скиби землі застосувати безполицевий обробіток ґрунту?

Усі ці та інші запитання мають безпосередній зв’язок з виробничими витратами. До переваг оптимізації виробничих витрат за допомогою комп’ютера слід віднести і той факт, що розроблена модель може бути використана в кожному наступному виробничому циклі з метою ефективнішого комбінування виробничих ресурсів в умовах зміни окремих техніко-економічних коефіцієнтів (цін на промислову й сільськогосподарську продукцію, системи оподаткування тощо).

Отже, оптимізація виробничих витрат за своїм економічним змістом є логічним завершенням математичної інтерпретації функ-
ції виробничих витрат.